Question

como eu resolvo isso por mudança de váriavel √x+√x+5=5

Answer 1

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Resolver a equação irracional por mudança de variável:

     $\mathsf{\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=5}$


Substituição:

     $\mathsf{\sqrt{x}=t\qquad(t\ge 0)}\\\\ \mathsf{x=t^2}$


e a equação fica:

     $\mathsf{t+\sqrt{t^2+5}=5}\\\\ \mathsf{\sqrt{t^2+5}=5-t}$


Outra substituição não funciona nesse caso. Então, elevamos os dois lados ao quadrado e resolvemos para  t:

     $\mathsf{\big(\sqrt{t^2+5}\big)^2=(5-t)^2}\\\\ \mathsf{t^2+5=5^2-2\cdot 5t+t^2}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!t^2+5=25-10t+\diagup\!\!\!\!t^2}\\\\ \mathsf{10t=25-5}\\\\ \mathsf{10t=20}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{20}{10}}\\\\\\ \mathsf{t=2}$


Voltando à variável original  x,  temos que

     $\mathsf{x=t^2}\\\\ \mathsf{x=2^2}\\\\ \mathsf{x=4}$


Testando o valor encontrado para verificar se é mesmo solução para a equação dada inicialmente:

     $\mathsf{\sqrt{4}+\sqrt{4+5}}\\\\ =\mathsf{\sqrt{4}+\sqrt{9}}\\\\ =\mathsf{2+3}\\\\ =\mathsf{5}\qquad\quad\checkmark$


Conjunto solução:   S = {4}.


Bons estudos! :-)