Question

.determine p e q para que as retas de equações x-y-2=0 e 2x+py-q=0 sejam coincidentes

Answer 1

Para as retas serem coincidentes elas tem que ter o mesmo coeficiente angular(m) e o mesmo coeficiente linear(n)
m' = m''  →   n' = n''
Para descobrirmos o coeficiente angular e linear temos que colocar a equação da forma que aparece abaixo:
y = mx + n

Agora vamos colocar as equações daquela forma:
x - y - 2 = 0
x - 2 = y
y' = x - 2

2x + py -q = 0
py = -2x + q
y'' = (-2x + q)/p

(Como sabemos que m é o número ao lado de x e n é o número que não tem x, pela primeira equação nós já temos o coeficiente angular e linear)
m = 1 e n = -2

Intuitivamente você já consegue descobrir os valores de q e p, já que
você só precisa achar os valores que vão fazer com que os dois y fiquem iguais:
q = 4
p = -2

Se você for substituir:
y'' = (-2x + 4)/(-2)
y'' = x - 2
Que tem o mesmo coeficiente angular e linear que y'
y' = x - 2  

Resultado: Logo, para que as retas sejam coincidentes, p = -2  e q = 4

Como falei, era intuitivamente, agora vamos mostrar na prática:
Como o y'' tem que ser igual ao y', nós podemos igualar os dois:
y' = y''
(x - 2) = (-2x + q)/p

Agora nós vamos tentar fazer com que a equação fique (x - 2) = (x - 2):
Para isso vamos transformar essa soma com divisão em uma soma de frações:
(x - 2) = -2x/p + q/p

Agora podemos igualar cada termo já que o termo do primeiro (x e -2) corresponde ao termo do segundo (-2x/p e q/p), respectivamente.
-2x/p vai ter que ser igual à x
q/p vai ter que ser igual à -2 

Fazendo as contas:
-2x/p = x 
-2x = p.x
p = -2x/x     p = -2, descobrimos p

q/p = -2  (como descobrimos o valor de p ali em cima, vamos substituir)
q/-2 = -2
q = -2.-2     q = 4, descobrimos q

Aí está:

Resultado: Logo, para que as retas sejam coincidentes p = -2 e q = 4