Question

As raízes da equação |x|² + |x| - 12 = 0 (não esqueça de apresentar como chegou a sua resposta)
a) Tem soma igual a zero;
b) São negativas;
c) Tem soma igual a um;
d) Tem produto igual a menos doze;
e) São positivas.

Answer 1

Resolver a equação modular:

     |x|² + |x| – 12 = 0


Faça uma mudança de variável:

     |x| = t        (t ≥ 0)

e a equação fica
 
     t² + t – 12 = 0    ———>    a = 1;  b = 1;  c = – 12.


Esta é uma equação quadrática na variável  t.  Pode-se resolvê-la usando a fórmula resolutiva de Báscara, por exemplo. Aqui, ela será resolvida via fatoração por agrupamento.

A ideia consiste em encontrar dois números de modo que

    •   a soma deles é  b = 1;

    •   o produto deles é  a · c = 1 · (– 12) = – 12.


Se olharmos no conjunto dos divisores inteiros de  12,

     D(12) = {± 1,  ± 2,  ± 3,  ± 4,  ± 6,  ± 12}


e tomarmos os números  + 4  e  – 3,  verifica-se que

•   a soma deles é  + 4 + (– 3) = 1          ✔

•   o produto deles é  (+ 4) · (– 3) = – 12          ✔


Sendo assim, os números de interesse para a fatoração são  + 4  e  – 3.  Reescreva convenientemente  + t   como  + 4t – 3t,  e a equação fica
  
     t² + 4t – 3t – 12 = 0


Fatore o lado esquerdo por agrupamento,  colocando  t  em evidência nos dois primeiros termos,  e  – 3  em evidência nos dois últimos termos:

     t · (t + 4) – 3 · (t + 4) = 0


Coloque o fator comum  t + 4  em evidência:

     (t + 4) · (t – 3) = 0


O produto é zero se algum dos fatores for zero. Então, devemos ter
 
     t + 4 = 0    ou    t – 3 = 0

     t = – 4    ou    t = 3


Descarta-se  t = – 4,  pois como  t  é o módulo de um número real, temos a restrição de que  t  não pode ser negativo. Logo, ficamos com
 
     t = 3


Voltando à variável  x  e resolvendo, ficamos com
 
     |x| = 3

     x = ± 3

     x = – 3    ou    x = 3    <———    soluções.


Conjunto solução:  S = {– 3,  3}.


Calculando a soma das raízes, obtemos

     – 3 + 3 = 0          ✔


A única opção que se aplica às soluções é a alternativa  a)  Têm soma igual a zero.


Bons estudos! :-)