Question

Galera, preciso de ajuda com este "pequeno" limite, estou em início de Cálculo 1 e travei nesse aqui

Segue também o anexo$\lim_{n \to \infty} \frac{ 1 + 2 + ... + n }{ n^{2} }$


Answer 1

Olá Vitor.


O numerador pode ser expresso usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética.

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\\\\\\\\ \mathsf{\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{(1+n)\cdot n}{2}}{n^2}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(1+n)\cdot \diagup\!\!\!\!n}{2}\cdot\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!n^2}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1+n}{2n}}\\\\\\\mathsf{\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n}+\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}}\\\\=\\\\\mathsf{0+\dfrac{1}{2}=\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}}$

Lembrando que o limite de uma constante é a própria constante, e o limite de um quociente quando o denominador tende a um número muito grande, ele tende a 0.


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