Question

Resolva a equacão Log (x-4) + log (x+4) = log6x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amanda, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica (na base 10),pois quando a base não é fornecida, subentende-se que ela seja "10":

log₁₀ (x-4) + log₁₀ (x+4) = log₁₀ (6x)

Veja: a exemplo de uma outra questão sua sobre logaritmos, vamos encontrar logo as condições de existência. Como só existem logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos (x-4), (x+4) e (6x) devam ser, todos eles, positivos (>0). Assim, impondo isso, teremos:

x - 4 > 0
x > 4

x + 4 > 0
x > -4

e, finalmente:

6x > 0
x > 0/6
x > 0

Agora veja: entre "x" ser maior do que (-4) maior do que (4) e maior do que "0",então vai prevalecer ele ser maior do que (4), pois sendo "x" > 4 já o será maior do que (-4) e maior do que "zero". Assim, prevalecerá a seguinte condição de existência:

x > 4 --- Esta é a única condição de existência para a expressão dada.

Agora que já vimos qual será a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₁₀ (x-4) + log₁₀ (x+4) = log₁₀ (6x) ---- como as bases são as mesmas, então vamos transformar esta soma em produto, com o que ficaremos:

log₁₀ [(x-4)*(x+4)] = log₁₀ (6x) ---- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim:

(x-4)*(x+4) = 6x ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:
x²+4x-4x-16 = 6x ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:
x² - 16 = 6x ---- passando-se "6x" para o 1º membro, teremos:
x² - 16 - 6x = 0 ---- ordenando, teremos:
x² - 6x - 16 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes;

x' = -2 <--- raiz inválida, pois não atende à condição de existência.
x'' = 8 <--- raiz válida, pois ela atende à condição de existência.

Assim, o conjunto-solução será dado pela raiz acima que atendeu à condição de existência e que é x = 8. Logo, o conjunto-solução será este:

S = {8}  <--- Este é o conjunto-solução da expressão logarítmica da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.