Question

Qual é o valor de m ∈ R de tal forma que sejam ortogonais os vetores v = ( 1, m + 1, m) e v = (m - 1, m, m +1) do R³?

Answer 1

Olá


Se os vetores são ortogonais, então o produto escalar entre eles tem de ser zero.
Então, para resolver esse exercício, basta calcular o produto escalar e igualando zero, e isolar o 'm'.

$\displaystyle \vec{u}=( 1, m + 1, m)\\\vec{v}=(m - 1, m, m +1) \\\\\vec{u}\cdot\vec{v}=0\\\\\\\mathsf{( 1, m + 1, m)\cdot (m - 1, m, m +1)=0}\\\\\mathsf{(1\cdot (m-1)~+~(m+1)\cdot m~+~m\cdot (m+1))=0}\\\\\mathsf{m-1~+ m^2+m+m^2+m=0}\\\\\text{Agrupando os termos em comum}\\\\\mathsf{2m^2+3m-1=0}\\\\\text{Caimos em uma equacao do segundo grau, entao vamos resolver por }\\\text{bhaskara}$

$\displaystyle \mathsf{2m^2+3m-1=0}\\\\\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot (-1)\\\\\Delta=9+8\\\\\Delta=17\\\\\\\mathsf{m= \frac{-3\pm \sqrt{17} }{2\cdot 2} }\\\\\\\mathsf{m_1= \frac{-3- \sqrt{17} }{4} ~~~~~ ~~ ~~~ ~m_2= \frac{-3+ \sqrt{17} }{4} }$


Então, para que os vetores sejam ortogonais,

$\displaystyle \mathsf{\boxed{m_1= \frac{-3- \sqrt{17} }{4}} ~~~~~ ~~ou~ ~~~ ~\boxed{m_2= \frac{-3+ \sqrt{17} }{4} }}$