Question

Por quanto tempo, aproximadamente, devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?
Dados: Log 1,03=0,013
Log 1,806=0,257

Answer 1

Para entender os juros compostos considere o seguinte: Após um mês ele receberá de juros o seguinte valor:

$J[1] = c \cdot i \cdot 1$

E o montante, após um mês será:

$M[1] = c + J[1] = c + c \cdot i = c \cdot (1 + i)$

Se mais um mês se passar, o juros recebido no mês dois será:

$J[2] = M[1] \cdot i \cdot 1$

E o novo montante:

$M[2] = M[1] + J[2] = M[1] + M[1] \cdot i = M[1](1 + i) = c \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) = c \cdot (1 + i)^2$

Ou seja, para o mês 3, o montante será: $M[3] = c \cdot (1 + i)^3$ e assim por diante.

Assim, o montante em função do tempo (t) em meses será:

$M[t] = c \cdot (1 + i)^t$

Mas no caso deste exercício, nós sabemos o montante, a taxa de juros mensal e o capital inicial, queremos descobrir o tempo, então primeiro passamos dividindo o capital inicial para o outro lado da equação:

$\frac{M[t]}{c} = (1 + i)^t$

O truque agora é aplicar o logaritmo de base (1 + i) dos dois lados da equação:

$\log_{(1 + i)}[\frac{M[t]}{c}] = \log_{(1 + i)}[(1 + i)^t]$

Mas, segundo as propriedades de logaritmo, o logaritmo de um número elevado a algo é a mesma coisa que descer esse "algo" multiplicando o logaritmo e um logaritmo de base e logaritmando iguais vale 1:

$\log_{(1 + i)}[\frac{M[t]}{c}] = t \cdot \log_{(1 + i)}[(1 + i)] = t \cdot 1$

Ou seja, o tempo necessário será dado pela seguinte expressão:

$t = \log_{(1 + i)}[\frac{M[t]}{c}]$

Usando os seguintes dados:

capital inicial [c] = 800
taxa de juros [i] = 0,03 ao mês
Montante [M] = 1444,89

Teremos:

$t = \log_{(1 + 0,03)}[\frac{1449,83}{800}] = \log_{(1,03)}[1,806]$

Mas o enunciado não disse quanto vale o logaritmo de 1,806 na base 1,03, ele diz quanto vale o logaritmo na base 10. Logo, será necessário fazer uma mudança de base:

$\log_{1,03}1,806 = \frac{\log_{10}1,806}{\log_{10}1,03}$

Pelo enunciado sabemos que:

$\log_{10}1,806 = 0,257 \quad e \quad \log_{10}1,03 = 0,013$

Então:

$t = \frac{0,257}{0,013} = 19,8$, aproximadamente 20 meses.

Answer 2

Resposta: 20 meses

Explicação passo-a-passo:

Presuma que você  deseja comprar uma mercadoria que custa R$ 1.444,88, mas você tem somente R$ 800,00 para adquirir essa mercadoria. Se você efetuar uma aplicação no valor de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, quanto tempo levará para que gere o montante desejado?  

Dados log 1,03 = 0,0128 e log 1,806=0,2567

C = R$ 800,00

M = R$ 1.444,88

i =3% a.m. = 0,03 a.m.

t = ?

Alternativa correta: 20 meses

Substituindo na fórmula de juros compostos

M = C .  (1 + i)t

1.444,89 = 800 .  (1 + 0,03)t

1.444,89 / 800 =  (1 + 0,03)t

1,806 =  (1 + 0,03)t

(1 + 0,03)t = 1,806  aplicando logaritmo nos dois lados da equação exponencial:

log (1,03)t = log 1,806

t . log 1,03 = log 1,806      

t . 0,0128 = 0,2567

t = 0,2567 / 0,0128

t = 20 meses

Como conferir o resultado?

1,03 ^20 = 1,806 x 800=1.444,88