Question

Calcule o valor de a sabendo que a distância entre A( 2, a ) e B( 1, -4 ) é igual a 1.

Answer 1

Usando a fórmula da distância

D² = ( xb - xa )² + ( yb - ya )²

A(2,a)
B(1,-4)
D = 1

1² = ( 1 - 2 )² + ( -4 - a )²

1 = ( -1 )² + ( -4 - a ) . ( -4 - a )

1 = 1 + 16 + 4a + 4a + a²

a² + 8a + 16 = 0 ( equação do 2º grau )

Δ = b² - 4ac

Δ = 8² - 4 . 1 . 16

Δ = 64 - 64

Δ = 0

x = ( -b  +/- √Δ ) / 2a

x = ( -8 +/- 0 ) / 2

x = -4, logo a = -4

A(2,-4)

Answer 2

Olá!

Vamos calcular a distância entre dois pontos usando o Teorema de Pitágoras:

$d^2_{AB} = ( x_{B} - x_{A})^2 + ( y_{B} - y_{A})^2$

Dados:
$x_{B} = 1$
$x_{A} = 2$
$y_{B} = -4$
$y_{A} = a$
$d_{AB} = 1$

Resolvendo:

*distância de A até B
$d^2_{AB} = ( x_{B} - x_{A})^2 + ( y_{B} - y_{A})^2$
$1^2 = ( 1 - 2)^2 + ( -4 - a)^2$
$1 = ( -1)^2 + [(-4)^2-2*(-4)*(a) + (-a)^2]$
$1 = 1 + 16+8a + a^2$
$a^2 + 8a + 16 = 1 - 1$
$a^2 + 8a + 16 = 0$

Temos uma equação do segundo grau, agora vamos encontrar suas raízes:

$a^2 + 8a + 16 = 0$
a = 1; b = 8, c = 16
Δ = b² - 4*a*c
Δ = 8² - 4*1*16
Δ = 64 - 64
Δ = 0

Observação as raízes x' e x" são iguais quando Δ = 0, logo: 

$x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2*a}$
$x = \frac{-8\pm \sqrt{0} }{2*1}$
$x = \frac{-8\pm 0 }{2}$
$x' = \frac{-8-0}{2} = \frac{-8}{2} \to \boxed{x' = - 4}$
$x" = \frac{-8+0}{2} = \frac{-8}{2} \to \boxed{x" = - 4}$

Portanto:
a = - 4

E as distâncias ficam assim: 
A( 2, -4 ) e B( 1, -4) e dAB = 1