Question

Derive as funções:

A) f(x)= (x^3+1/x^2+3) * (x^2-2x+2)
B) f(x)= (2x-1/3x^2+x-2)^3
C) f(x)= (2x-3)^3*(x^2+2)^4 tudo /(3x^2+5x)^2
D) f(x)= cos^4 (2x^3+8x)
E) f(x)= e^2cos2x

Answer 1

Olá

Não será possível explicar o passo a passo de todas os itens, pois as resolução das questões são gigantes, mas, caso haja alguma dúvida, deixe nos comentários.


A)

$\displaystyle \mathsf{ y=\frac{(x^3+1)}{(x^2+3)}~ \cdot ~ (x^2-2x+2) }$

Para derivarmos essa função, temos que aplicar a regra do produto...

Vamos derivar por partes...

Derivando o 1º termo

$\displaystyle \mathsf{ \frac{(x^3+1)}{(x^2+3)}}\\\\\\\text{Aplicando a regra do quociente}\\\\\\\mathsf{ \frac{3x^2\cdot (x^2+3)~-~(x^3+1)\cdot 2x}{(x^2+3)^2}}\\\\\\\mathsf{ \frac{3x^2\cdot (x^2+3)~-~2x(x^3+1)}{(x^2+3)^2}}\\\\\\\mathsf{ \frac{3x^4+9x^2~-2x^4-2x}{(x^2+3)^2}}\\\\\\\mathsf{g'= \frac{x^4+9x^2-2x}{(x^2+3)^2}}$

Derivando o 2º termo

$\displaystyle \mathsf{h=x^2-2x+2}\\\\\mathsf{h'=2x-2}$


Jogando na fórmula da derivação da regra do produto

$\displaystyle \mathsf{y= \frac{(x^3+1)}{(x^2+3)}~ \cdot ~ (x^2-2x+2) }\\\\\\\mathsf{y'=\frac{x^4+9x^2-2x}{(x^2+3)^2}\cdot(x^2-2x+2)~+~ \frac{(x^3+1)}{(x^2+3)}\cdot (2x+2)}\\\\\\\text{Aplicando a distributiva e tirando o MMC, voce chegara em}\\\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{3x^6-4x^5+17x^4-24x^3+20x^2+2x-6}{\left(x^2+3\right)^2} }}$




B)

$\displaystyle \mathsf{f(x) = \left(\frac{2x-1}{3x^2+x-2}\right)^3 }$


Temos que utilizar a regra da cadeia para resolver essa derivada.

Primeiramente, vamos derivar o que está dentro

$\displaystyle \mathsf{g=\frac{2x-1}{3x^2+x-2}}\\\\\\\mathsf{g'= \frac{2\cdot (3x^2+x-2)~-~(2x-1)\cdot (6x+1)}{(3x^2+x-2)^2} }\\\\\\\mathsf{g'= \frac{6x^2+2x-4-12x^2+6x-2x+1}{(3x^2+x-2)^2} }\\\\\\\mathsf{g'= \frac{-6x^2+6x-3}{(3x^2+x-2)^2} }$

Derivando a expressão toda

$\displaystyle \mathsf{y=\left(\frac{2x-1}{3x^2+x-2}\right)^3}\\\\\\\boxed{\mathsf{y'=3\cdot\left(\frac{2x-1}{3x^2+x-2}\right)^2\cdot \frac{-6x^2+6x-3}{(3x^2+x-2)^2} } }$


c)

$\displaystyle \mathsf{ \frac{(2x-3)^3\cdot (x^2+2)^4}{(3x^2+5x)^2} }$


Temos que aplicar a regra do quociente.

Vamos derivar por partes

Primeiro o numerador

$\displaystyle \mathsf{g=(2x-3)^3\cdot (x^2+2)^4}\\\\\text{aplicando a regra do produto}\\\\\mathsf{6(2x-3)^2\cdot (x^2+2)^2~+~(2x-3)^3\cdot (8x(x^2+2)^3)}$


Derivando toda expressão

$\displaystyle \mathsf{y= \frac{(2x-3)^3(x^2+2)^4}{(3x^2+5x)^2} }\\\\\\\mathsf{y'= \frac{(6(2x-3)^2\cdot (x^2+2)^2~+~(2x-3)^3\cdot (8x(x^2+2)^3))\cdot(3x^2+5x)^2}{(3x^2+5x)^2)^2} }\\\\\text{Continuando a expressao}\\\\\mathsf{ \frac{-((2x-3)^3(x^2+2)^4\cdot 2(3x^2+5x)\cdot(6x+5) )}{((3x^2+5x)^2)^2} }\\\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{6(2x-3)^2(x^2+2)^2+(2x-3)^3(8x(x^2+2)^3(3x^2+5x)^2}{(3x^2+5x)^4} }}\\\\\\\boxed{\mathsf{y'= \frac{-((2x-3)^3(x^2+2)^42(3x^2+5x)(6x+5))}{(3x^2+5x)^4} }}$

Você pode tentar simplificar, aplicando a distributiva, mas não vai mudar muita coisa.



D)

Temos que utilizar a regra da cadeia para resolver essa derivada

$\displaystyle \mathsf{y=cos^4(2x^3+8x)}\\\\\\\mathsf{y'=4cos^3(2x^3+8x)\cdot (-sen(2x^3+8x))\cdpt (6x^2+8)}\\\\\\\boxed{\mathsf{y'=-4(cos^4(2x^3+8x)\cdot (sen(2x^3+8x)(6x^2+8)))}}$



E)

Temos que utilizar a regra da cadeia para resolver essa derivada

y'= e^(u) * u'

$\displaystyle \mathsf{y=e^{2cos(2x)}}$

$\mathsf{u=2cos(2x)}\\\\\mathsf{u'=-2sen(2x)\cdot 2}\\\\\mathsf{u'=-4sen(2x)}\\\\\\\mathsf{y'=e^u\cdot u'}\\\\\mathsf{y'=e^{2cos(2x)}\cdot (-4sen(2x))}\\\\\boxed{\mathsf{y'=-4sen(2x)\cdot e^{2cos(2x)}}}$