Question

Resolva a equação polinomial em C (complexos)

8x^3 + 48x^2 + 96x + 37 = 0

sem recorrer à pesquisa de raízes racionais.

Answer 1

É correto afirmar que toda função cúbica possui pelo menos 1 raiz real, pois sempre parte do menos infinito para o mais infinito ou vice-versa.

Obs: (Pode pular essa parte de análise (dentro do tracejado) e ir direto para a resolução).
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Primeiramente irei encontrar certos valores fundamentais da função $f(x)=8x^3+48x^2+96x+37$.

A função corta o eixo das ordenadas no ponto (0;37), pois o termo independente é igual à 37.

A curva parte do -infinito para o +infinito conforme aumentamos o valor de x, pois:

$\lim_{n \to \infty} 8x^3+48x^2+96x+37=+\infty$

O ponto crítico da função (onde $f(x)'=0$) é único e se localiza no ponto (-2;-27), pois

$f(x)'= 24x^2+96x+96$                 (f(x)=0)
$24x^2+96x+96=0$
$x^2+4x+4=0$
$(a=1;b=4;c=4)$

$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=4^2-4*1*4$
$\Delta=16-16$
$\Delta=0$

$x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}$
$x= \frac{-4\pm \sqrt{0} }{2*1}$
$x=- \frac{4}{2}$
$x=-2$

Substituímos -2 na equação original e temos que o y do ponto crítico é igual á:

$f(x)=8x^3+48x^2+96x+37$
$f(-2)=8*(-2)^3+48*(-2)^2+96*(-2)+37$
$f(-2)=8*(-8)+48*4+96*(-2)+37$
$f(-2)=-64+192-192+37$
$f(-2)=-27$

A raiz da função portanto está no intervalo ]-2;0[ para x, pois $-27 \geq 0 \geq 37$
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Agora vamos à resolução:

$8x^3+48x^2+96x+37=0$
$8x^3+48x^2+96x+64-27=0$
$8*(x^3+6x^2+12x+8)-27=0$
$2^3*(x+2)^3-3^3=0$
$(2x+4)^3-3^3=0$
$(2x+4-3)*((2x+4)^2+(2x+4)*3+3^2)=0$
$(2x+1)*(4x^2+16x+16+6x+12+9)=0$
$(2x+1)*(4x^2+22x+37)=0$

A primeira raiz é:

$2x+1=0$
$2x=-1$
$x=- \frac{1}{2}$
$x=-0.5$

As outras duas raízes serão:

$4x^2+22x+37=0$
$(a=4;b=22;c=37)$

$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=22^2-4*4*37$
$\Delta=484-592$
$\Delta=-108$
$\Delta=-1*2^2*3^2*3$

$x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}$
$x= \frac{-22\pm \sqrt{-1*2^2*3^2*3} }{2*4}$
$x= \frac{-22\pm 6\sqrt{-3} }{2*4}$
$x= \frac{-11\pm 3\sqrt{3}i }{4}$

Portanto, as raízes da função $8x^3+48x^2+96x+37$ são

$x_1=-0.5$
$x_2= -\frac{11}{4}+ i\frac{{ 3\sqrt{3}}}{4}$
$x_3= -\frac{11}{4}- i\frac{{ 3\sqrt{3}}}{4}$