Question

 (UFG GO/2011) Uma casa de espetáculos, com 1000 lugares, deseja planejar o investimento em publicidade para a divulgação de um show, levando-se em conta a experiência em duas ocasiões semelhantes. Em uma dessas ocasiões, a casa gastou 3.000 reais com publicidade e vendeu 500 ingressos. Em outro show, com um investimento de 5.000 reais, foram vendidos 700 ingressos. Considerando que a demanda por ingressos seja dada por uma função do primeiro grau do valor investido em publicidade:
a) quantos ingressos a casa venderia sem investir em publicidade?
b) qual é o investimento necessário, em publicidade, para se lotar a casa?

Answer 1

Oi Luiza, como vai?

Veja que o problema nos diz que a demanda de ingressos dessa casa de espetáculos varia em função do investimento em publicidade como uma função do primeiro grau. Isto é, teremos y (demanda de ingressos) variando em função de x (investimento publicitário) na forma:
y = ax +b

Ainda sabemos que, quando o investimento foi de 3.000 R$ (x = 3.000), a demanda de ingressos foi de 500 unidades (y = 500). Esse é um par ordenado (3.000, 500) que pertence à nossa função.

Do mesmo modo, quando o investimento foi de 5.000 R$ (x = 5.000), a demanda de ingressos foi de 700 unidades (y = 700). Ou seja, o par ordenado (5.000, 700) também pertence a essa função.

Tendo em mente os dois pares ordenados mencionados, podemos construir o seguinte sistema com base na forma geral de uma função do primeiro grau (y = ax +b):
$\left \{ {{500 = 3000a+b} \atop {700=5000a+b}} \right.$

Vamos resolver o sistema pelo método da substituição, isolando b na primeira equação:
$500 = 3000a+b \\ b = 500-3000a$

Agora podemos substituir esse valor parcial na segunda equação do sistema:
$700 = 5000a+b \\ 700 = 5000a +500 -3000a \\ 2000a = 700-500 \\ a = \frac{200}{2000} \\ \\ a= \frac{1}{10}$

Conhecendo o valor de a na função, podemos encontrar o valor real de b:
$b = 500-3000a \\ b = 500-3000( \frac{1}{10}) \\ b = 500-300 \\ b = 200$

Veja que já conhecemos os valores de a e b. Portanto, podemos enfim conhecer a função que origina esse problema:
$y = ax+b \\ y = \frac{x}{10} +200$

Conhecendo a função, podemos responder as alternativas:
a) Lembre-se que o investimento em publicidade na função é representado por x. Então, sem investir em publicidade (x = 0), a casa venderá y ingressos, tal que:
$y = \frac{x}{10} +200 \\ \\ y = \frac{0}{10}+200 \\ \\ y = 0+200 \\ y = 200$

Logo, sem investimento em publicidade, a casa venderia 200 ingressos.

b) A casa tem 1.000 lugares disponíveis. Então, a casa será lotada quando y = 1.000 e isso custará um investimento de x R$:
$y = \frac{x}{10}+200 \\ \\ 1.000 = \frac{x}{10}+200 \\ \\ 800 = \frac{x}{10} \\ \\ x = 800*10 \\ \\ x = 8.000$

Portanto, o investimento necessário para se lotar a casa é de 8.000 R$.

Bons estudos!