Question

Resolva em R a equação seguinte:
$\frac{ 100^{x}-1 }{ 10^{x}+1 } =9$

Com explicações por favor 

Answer 1

$\dfrac{100^{x}-1}{10^{x}+1}=9\\\\\\\dfrac{(10^{2})^{x}-1}{10^{x}+1}=9\\\\\\\dfrac{(10^{x})^{2}-1}{10^{x}+1}=9$

Passando ([10 elevado a x] + 1) pro outro lado da equação:
$(10^{x})^{2}-1=9(10^{x}+1)$

Vamos chamar 10 elevado a x de y, para facilitar a visualização

$(y)^{2}-1=9(y+1)\\y^{2}-1=9y+9\\y^{2}-9y-1-9=0\\y^{2}-9y-10=0$

Podemos resolver a equação por soma e produto

$S=-b/a=-(-9)/1=9\\P=c/a=-10/1=-10$

Raízes: 2 números que quando somados dão 9 e quando multiplicados dão -10

$y'=-1\\y''=10$

Mas y = 10 elevado a x:

$y=-1\\10^{x}=-1$

Descartamos essa solução, ficando apenas com:

$y=10\\10^{x}=10^{1}\\x=1\\\\\boxed{\boxed{S=\{1\}}}$

Answer 2

Olá !

$\dfrac{100^{x}-1}{10^{x}+1}=9$

Observe que, $100^{x}=(10^2)^{x}=10^{2x}$.

Assim, $\dfrac{10^{2x}-1}{10^{x}+1}=9$.

Note que, $(10^{x}+1)(10^{x}-1)=(10^{2x}-1)$.

Deste modo, $\dfrac{10^{2x}-1}{10^{x}+1}=10^{x}-1$.

Com isso, $10^{x}-1=9~\Rightarrow~10^{x}=10$ e encontramos $\boxed{x=1}$.

Espero ter ajudado ^^