Question

Sejam os pontos A (1,5,4) e B (-1,0,6). podemos afirmar que a equação vetorial da reta que passa pelo ponto P(4,2,-1) e tem a direção de AB é:

Answer 1

A(1,5,4)
B(-1,0,6)

Criando o vetor AB

AB = B-A = (-1,0,6) - (1,5,4)
AB = (-1-1, 0-5, 6-4)
AB = (-2, -5, 2) 

Temos 1 ponto e 1 vetor, então podemos criar uma reta.

Vetor diretor → AB
Ponto           → P

P(4,-2,1)

Equação vetorial da reta
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c)

sendo
(x1,y1,z1) os pontos da reta
(a,b,c) os vetores diretores da reta

A reta fica sendo

(x,y,z) = (4,2,-1) + t(-2,-5,2)

Answer 2

✅Após resolver os cálculos, concluímos que uma das possíveis equação vetoriais da reta é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (4, 2, -1) + \lambda(-2, -5, 2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam o dados:

                             $\Large\begin{cases} A(1, 5, 4)\\B(-1, 0, 6)\\P(4, 2, -1)\\\overrightarrow{AB} = \:?\end{cases}$

Sabendo que podemos desenvolver a equação vetorial da reta de acordo com o seguinte:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\overrightarrow{PO} = \lambda\overrightarrow{AB} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} O - P = \lambda\cdot(B - A)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} O = P + \lambda\cdot(B - A),\:\:\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\:\overrightarrow{AB} \neq\vec{0}\end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "II", temos:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (4, 2, -1) + \lambda\left[(-1, 0, 6) - (1, 5, 4)\right]\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4, 2, -1) + \lambda\left[-1 - 1, 0 - 5, 6 - 4\right]\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4, 2, -1) + \lambda\left[-2, -5, 2\right]\end{gathered}$

✅ Portanto, uma das equações vetoriais da reta "r" é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: (x, y, z) = (4, 2, -1) + \lambda(-2, -5, 2)\end{gathered}$

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