Question

Considere o polinômio de grau 3 na variável x:

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

(a diferente de zero).

Através de uma mudança de variável (translação), reescreva este polinômio de modo que o coeficiente do termo do segundo grau seja nulo.

Answer 1

Olá Lukyo.



Produtos notáveis usados:

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3}}}\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}}}$


Para eliminar o segundo termo, precisaremos de um valor t que elimine o termo de segundo grau e de uma variável auxiliar h, para manter a equação de terceiro grau.


$\mathsf{x=h+t}\\\\\\\mathsf{P(h+t)=a(h+t)^3+b(h+t)^2+c(h+t)+d}\\\\\mathsf{a(h^3+3h^2t+3ht^2+t^3)+b(h^2+2ht+t^2)+c(h+t)+d}\\\\\mathsf{ah^3+3ah^2t+3aht^2+at^3+bh^2+2bht+bt^2+ch+ct+d}\\\\\mathsf{ah^3+\boxed{\mathsf{h^2(3at+b)}}+3aht^2+at^3+2bht+b^2+ch+ct+d}\\\\\\\mathsf{3at+b=0}\\\\\mathsf{3at=-b}\\\\\boxed{\mathsf{t=\dfrac{-b}{3a}}}$

Conhecendo o valor de t já é possível eliminar o termo de segundo grau.

$\mathsf{ah^3+h^2(3at+b)+3aht^2+at^3+2bht+b^2+ch+ct+d}\\\\\\\mathsf{\!ah^3\!+\!\dfrac{-b}{3a}\!\cdot\!\big(3ah^2\!\!+\!\dfrac{\diagdown\!\!\!\!3\diagdown\!\!\!\!ah(-b)}{\diagdown\!\!\!\!3\diagdown\!\!\!\!a}\!+a\!\Big(\dfrac{-b}{3a}\Big)^2\!\!+\!2bh\!+c\!\big)\!+\!bh^2\!+\!b^2\!+\!ch\!+\!d}\\\\\\\mathsf{ah^3-\diagup\!\!\!\!\!bh^2+\dfrac{b^2h}{3a}-\dfrac{b^3}{27a^2}-\dfrac{2b^2h}{3a}-\dfrac{bc}{3a}+\diagup\!\!\!\!\!bh^2+b^2+ch+d}$

$\mathsf{\dfrac{27a^2h^3+9ab^2h-b^3-18ab^2h-9abc+27a^2b^2+27a^2ch+27a^2d}{27a^2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{27a^2h^3-h(9ab^2-27a^2c)-9abc+27a^2b^2+27a^2d-b^3}{27a^2}}}$


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