Question

Calcule a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2}\,dx}$

Answer 1

Boa noite Lukyo 

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx 

achei uma resolução original 

seja as funções  f(x) = ax + b e g(x) = 1 + x² , f'(x) = a , g'(x) = 2x

sabemos que a derivada de um quociente é

(f(x)/g(x))' = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / g(x)²

(f(x)/g(x))' = ( a*(1 + x²) - (ax + b)*2x )/(1 + x²)²

agora vamos encontrar os valores de "a" e "b" da função f(x) 

a + (1 - 2a)x² - 2bx = 1 - 2x - x²

1 - 2a = -1
2a = 2
a = 1

-2b = -2
b = -2/-2 = 1

f(x) = x + 1

portanto

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx  = f(x)/g(x) + C

∫ (1 - 2x - x²)/(1 + x²)² dx  = (x + 1)/(1 + x²) + C