Question

Expanda o produto e expresse-o de forma simplificada:

$\mathsf{\displaystyle (x-y)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}\,y^k}$

Answer 1

Olá Lukyo.


Organizando a expressão do enunciado.

$\mathsf{\displaystyle (x-y)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}\,y^k}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot(x^{n-1-0}\cdot y^0+x^{n-1-1}\cdot y^1+x^{n-1-2}\cdot y^2+...+x^{n-1-(n-1)}\cdot y^{n-1}}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot(x^{n-1}+x^{n-2}\cdot y+x\cdot^{n-3}\cdot y^2+...+x^{1}\cdot y^{n-2}+y^{n-1})}$


Perceba que o somatório se trata da soma de uma P.G. Encontrando sua razão:

$\mathsf{q=\dfrac{x^{n-2}\cdot y}{x^{n-1}}}\\\\\mathsf{q=x^{n-2-(n-1)}\cdot y}\\\\\mathsf{q=x^{\diagup\!\!\!\!n-2-\diagup\!\!\!\!n+1}\cdot y}\\\\\mathsf{q=x^{-1}\cdor y\qquad\qquad ou\qquad\qquad q=\dfrac{y}{x}}$


Sabendo que a fórmula da soma de uma P.G é dada por:

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}$


Onde já temos o primeiro termo e a razão, falta saber o valor de n. Para obter n basta somar uma unidade ao expoente do último termo. Portanto, temos:

$\mathsf{n -1+1=n}$

Substituindo tudo na equação:

$\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{x^{n-1}\cdot\Big[\Big(\dfrac{y}{x}\Big)^n-1\Big]}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{x^{n-1}\cdot[(y\cdot x^{-1})^n-1]}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{x^{n-1}\cdot[y^n\cdot x^{-n}-1]}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{x^{\diagup\!\!\!\!n-1-\diagup\!\!\!\!n}\cdot y^n-x^{n-1}}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{x^{-1}\cdot y^n-x^{n-1}}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}$

$\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{\dfrac{y^n}{x}-\dfrac{x^{n-\diagup\!\!\!1+\diagup\!\!\!1}}{x}}{\dfrac{y}{x}-1}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{\dfrac{y^n-x^n}{x}}{\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{x}}\Big)}\\\\\\\mathsf{(x-y)\cdot\Big(\dfrac{y^n-x^n}{\diagup\!\!\!\!x}\Big)\cdot\Big(\dfrac{\diagup\!\!\!\!x}{y-x}\Big)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(x-y)\cdot(y^n-x^n)}{y-x}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{-(y-x)\cdot(y^n-x^n)}{(y-x)}}$

$\mathsf{-(y^n-x^n)}\\\\\\\boxed{\mathsf{x^n-y^n}}$


Dúvidas? comente.

Answer 2

$Expanda \ o \ produto \ e \ expresse-o \ de \ forma \ simplificada \ : \\\\ (x-y) \ . \ \sum_{k=0}^{n-1} \ x^n^-^1^-^k.y^k \ = \\ \\ \\ = \ (x-y). \Big[x^n^-^1.y^0+x^n^-^2.y^1+x^n^-^3.y^2+ ... + x^2.y^n^-^2+ \\ x^1.y^n^-^2+x^0.y^n^-^1 \Big] \\\\\\ = x^n + x^n^-^1.y+x^n^-^2.y^2+ ... +x^3.y^n^-^3+x^2.y^n^-^2+x^1.y^n^-^1 \\ -x^n^-^1.y -x^n^-^2.y^2-x^n^-^3.y^3- ... -x^2.y^-^2-x^1.y^n^-^1 -.y^n \\ \\ \rightarrow Agrupando \ os \ termos \ sim\acute{e}tricos \ ,$

$= x^n+x^n^-^1.y-x^n^-^1.y+x^n^-^2.y^2-x^n^-^2.y^2+...+ x^2.y^n^-^2 \\ - x^2.y^n^-^2 + x^1.y^n^-^1 - x^1.y^n^-^1 - y^n \\ \\ \rightarrow Como \ os \ termos \ agrupados \ s\tilde{a}o \ sim\acute{e}tricos \ ent\tilde{a}o \ a \ sua \ soma \\ resulta \ na \ anulu\c{c}\tilde{a}o \ desses \ termos \ . \ Logo \ , \ ficamos \ com \ a \\ express\tilde{a}o \ : \\ \\ = x^n-y^n$