Question

Determine o valor de p de modo que a função f(x) = x² -3x +p tenha duas raízes reais e distintas

Answer 1

Para que a função quadrática tenha duas raízes reais e distintas é necessário que o valor de $\Delta$ seja positivo, isto é:

$b^2 - 4 \cdot a \cdot c > 0$

Os valores de a, b e c são, respectivamente: 1, -3 e p. Então:

$(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p > 0 \\ 9 - 4\cdot p > 0$

Chegamos em uma inequação do primeiro grau. Para resolvê-la precisamos isolar a variável p. Primeiro subtraímos 9 dos dois lados da inequação:

$9 - 9 - 4\cdot p >0 -9 \\ -4 \cdot p > -9$

Agora precisamos nos livrar do -4. Primeiro podemos dividir por 4 os dois lados da inequação:

$\frac{-4 \cdot p}{4} > \frac{-9}{4}\\ - p > \frac{-9}{4}$

Agora, para calcular p, precisamos tirar o sinal negativo e torná-lo positivo, para isso, multiplicaremos os dois lados da inequação por (-1). Obs: Quando multiplicamos ou dividimos os dois lados da inequação por um número negativo, invertemos o sinal, ou seja, o maior vira menor:

$(-1) \cdot - p < (-1) \cdot \frac{-9}{4}\\ p < \frac{9}{4}$

Ou seja, p precisa ser menor do que $\frac{9}{4}$