Question

21) - (PUC-SP) Tomam-se dez pontos sobre uma circunferência. Quantos triângulos podemos construir com vértices nesses pontos ??

a) 12
b) 120
c) 360
d) 720
e) 10/3!

Answer 1

 Sejam A, B, C,..., I e J os pontos em questão. Para que tenhamos triângulos, precisamos escolher três pontos. Mas, sabemos que o triângulo ABC é o mesmo que CAB, por exemplo. Desse modo, ao combiná-los não teremos contado essas repetições.

 Isto posto,

$\\ \mathsf{C_{n,p} = \frac{n!}{(n - p)!p!}} \\\\\\ \mathsf{C_{10,3} = \frac{10!}{7!3!}} \\\\\\ \mathsf{C_{10, 3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! 3 \cdot 2 \cdot 1}} \\\\ \mathsf{C_{10, 3} = 10 \cdot 3 \cdot 4} \\\\ \boxed{\mathsf{C_{10, 3} = 120}}$