Question

como si deu a expulsão dos holandeses no nordeste

Answer 1

Foram expulsos por terem formado colônias no Brasil, terra que Portugal via como um baú do tesouro, de onde se podia tirar tudo sem repor nada em troca, um lugar onde eles podiam mandar todos os condenados de Portugal para "colonizar", deixando o Brasil na mais completa miséria e ignorância. 

Creio que, não tivessem sido expulsos, teríamos sido colonizados por vários povos além dos holandeses, no decorrer da história, e não seríamos um país, mas uma série de países, o que teria contribuido para o desenvolvimento de todos eles.

Answer 2

Durante o dominio holandes no nordeste, entre 1624 e 1654, os moradores luso-brasileiros sofriam limitações a seu culto religioso, além de inúmeros prejuízos materiais.
Pouco a pouco foi-se criando um clima de insatisfação e mesmo de insurreição. André Vidal de Negreiros (f. 1681) começou a articular o movimento de insurreição na Paraíba, e os insurrectos puderam contar com a contribuição dos negros de Henrique Dias (f.1662) e dos índios de Dom Antônio Felipe Camarão (1580-1648).
Os luso-brasileiros, que elegeram João Fernandes Vieira (1613-1681) como seu chefe, derrotaram os holandeses na primeira e na segunda batalha dos Guararapes e foram pouco a pouco efetuando a reconquista de suas terras. A guerra entre a Inglaterra e a Holanda veio enfraquecer ainda mais o poderio holandês no Brasil.
As longas e difíceis negociações entre Portugal e Holanda resultaram na capitulação da Holanda em 1654 (Tratado de Taborda), com relação aos domínios portugueses no Brasil, mas as divergências continuaram em outras possessões portuguesas.