Question

prove que para todo número n > ou = a 1 an = 4 ^n -1/3 é imteiro e impar.

Answer 1

Primeiramente, vamos provar que $4^{n}-1$ é divisível por $3$.

Como $4\equiv1\pmod{3}$, temos $4^{n}\equiv1^{n}\equiv1\pmod{3}$.

Com isso, $4^{n}-1\equiv1-1\equiv0\pmod{3}$.

Portanto, $\dfrac{4^{n}-1}{3}$ é um número inteiro, $\forall~n\ge1$.

Seja $\dfrac{4^{n}-1}{3}=q$. Queremos mostrar que $q$ é ímpar.

Veja que, $4^{n}-1=3q$. Sabemos que, $4^{n}$ é um número par, qualquer que seja $n\ge1$.

Assim, $4^{n}-1$ é um número ímpar.

Deste modo, $3q$ também deve ser um número ímpar e, segue que, $q$ não pode ser par.

Portanto, $\dfrac{4^{n}-1}{3}$ é um número inteiro ímpar, $\forall~n\ge1$.