Question

Dê uma única função y=f(x) que una simultaneamente as curvas:

y=2^x para (x<2)
y=2+x para (x>2)

Anexo: Gráfico da função pós-união.

Answer 1

x = 2 não está no domínio da função dada.

Queremos escrever a lei de

f(x)
= 2^x, se x < 2
= 2 + x, se x > 2

em termos de uma única sentença.

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Podemos começar reescrevendo a lei de f de forma mais explícita:

f(x)
= 1 * 2^x + 0 * (2 + x), se x < 2
= 0 * 2^x + 1 * (2 + x), se x > 2 (i)

A ideia é usar duas funções multiplicadoras g(x) e h(x), definidas da seguinte forma:

g(x)
= 1, se x < 2
= 0, se x > 2

h(x)
= 0, se x < 2
= 1, se x > 2

As funções g e h funcionarão como uma espécie de "filtro" ao multiplicarem as parcelas que definem f, de modo que

f(x) = g(x) * 2^x + h(x) * (2 + x) (ii)

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Temos que expressar as leis de g e h em uma só sentença. Para isso, podemos tomar a função sinal para nos auxiliar:

sgn(x) = x/|x|
= - 1, se x < 0
= 1, se x > 0

Fazendo uma translação adequada no domínio,

sgn(x - 2) = (x - 2)/|x - 2|
= - 1, se x < 2
= 1, se x > 2

Fazendo uma translação na imagem, somando 1:

1 + sgn(x - 2) = 1 + (x - 2)/|x - 2|
= 0, se x < 2
= 2, se x > 2

Fazendo uma compressão na imagem por um fator multiplicativo k = 1/2:

(1/2) * [1 + sgn(x - 2)] = (1/2) * [1 + (x - 2)/|x - 2|]
= 0, se x < 2
= 1, se x > 2

e essa é a definição da função h(x):

h(x) = (1/2) * [1 + (x - 2)/|x - 2|]
h(x) = 1/2 + (1/2) * (x - 2)/|x - 2| (iii)

Das definições de g e h, percebemos que, para todo x diferente de 2,

g(x) + h(x) = 1
g(x) = 1 - h(x)
g(x) = 1 - 1/2 - (1/2) * (x - 2)/|x - 2|
g(x) = 1/2 - (1/2) * (x - 2)/|x - 2| (iv)

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Voltando à equação (ii), a lei de f pode ser descrita em uma única sentença como

f(x) = [1/2 - (1/2) * (x - 2)/|x - 2|] * 2^x + [1/2 + (1/2) * (x - 2)/|x - 2|] * (2 + x)

com x diferente de 2.

Bons estudos! :-)