Question

(faap) Aumentando-se a em 2 cm o lado de um triângulo equilátero, sua área fica aumentada de 5 raiz de 3cm².Qual a área desse triângulo?

Answer 1

Primeiro devemos lembrar que a área de um triângulo equilátero de lado a é sempre igual a $A = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$ 

Vamos considerar 2 triângulos: T1 e T2

T1 tem medida de lado igual a x.


A área de T1 será: 

$A_{T1} = \frac{x^2 \sqrt{3} }{4}$

T2 terá medida do lado igual a x + 2 e sua área será:

$A_{T2} = \frac{(x+2)^2 \sqrt{3} }{4}$

Pelo problema, temos que:

$A_{T2} = A_{T1} + 5 \sqrt{3}$

Portanto, teremos:

$\frac{(x+2)^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{x^2 \sqrt{3} }{4} + 5 \sqrt{3} \\ \\ \frac{(x+2)^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{x^2 \sqrt{3} +20 \sqrt{3} }{4} \\ \\ \frac{(x+2)^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{(x^2+20) \sqrt{3}}{4} \\ \\ Podemos cancelar 4 e \sqrt{3} \\ \\ (x+2)^2 = (x^2+20)\\ \\ x^2 + 4x + 4 = x^2 + 20 \\ \\ 4x + 4 = 20 \\ \\ 4x = 20 - 4 \\ \\ 4x = 16 \\ \\ x = \frac{16}{4} \\ \\ x = 4$

A área do triângulo será:

$A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} =\frac{4^2 \sqrt{3}}{4} =\frac{16 \sqrt{3}}{4} = \boxed{\boxed{4 \sqrt{3} cm^2 }}$