Question

Determine a função quadrática cujo o gráfico:
a)contém os pontos (-3,6) (1,2) e (2,6)
b)contém os pontos (-2,3)(1,0)(3,-8)

Obrigada :)

Answer 1

Oi Clara.

$(-3,6)\quad (1,2)\quad (2,6)\\ \\ f(x)=ax^{ 2 }+bx+c\\ f(-3)=a(-3)^{ 2 }+b(-3)+c=6\\ f(-3)=9a-3b+c=6\\ \\ f(1)=a(1)^{ 2 }+b(1)+c=2\\ f(1)=a+b+c=2\\ \\ f(2)=a(2)^{ 2 }+b(2)+c=6\\ f(2)=4a+2b+c=6\\ \\ (I)\quad 9a-3b+c=6\\ (II)\quad a+b+c=2\\ (III)\quad 4a+2b+c=6$

$(I)+(-II)\\ 9a-3b+c=6\\ -a-b-c=-2\\ 8a-4b=4\\ \\ (I)+(-III)\\ 9a-3b+c=6\\ -4a-2b-c=-6\\ 5a-5b=0\\ \\ 8a-4b=4\quad (*-5)\\ 5a-5b=0\quad (*4)\\ \\ -40a+20b=20\\ 20a-20b=0\\ -20a=20\\ -\frac { 20 }{ 20 } =a\\ -1=a\\ \\ 5(-1)-5b=0\\ 5-5b=0\\ 5=5b\\ \frac { 5 }{ 5 } =b\\ 1=b\\ \\ -1+1+c=2\\ c=2$

$f(x)=-x^{ 2 }+x+2$



$B)\\ (-2,3)\quad (1,0)\quad (3,-8)\\ \\ f(x)=ax^{ 2 }+bx+c\\ \\ f(-2)=a(-2)^{ 2 }+b(-2)+c=3\\ f(-2)=4a-2b+c=3\\ \\ f(1)=a(1)^{ 2 }+b(1)+c=0\\ f(1)=a+b+c=0\\ \\ f(3)=a(3)^{ 2 }+b(3)+c=-8\\ f(3)=9a+3b+c=-8\\ \\ (I)\quad 4a-2b+c=3\\ (II)\quad a+b+c=0\\ (III)\quad 9a+3b+c=-8$

$(I)+(-II)\\ 4a-2b+c=3\\ -a-b-c=0\\ 3a-3b=3\\ \\ (I)+(-III)\\ 4a-2b+c=3\\ -9a-3b-c=8\\ -5a-5b=11\\ \\ 3a-3b=3\quad (*5)\\ -5a-5b=11\quad (*3)\\ \\ 15a-15b=15\\ -15a-15b=33\\ -30b=48\quad (-1)\\ 30b=-48$

$b=-\frac { 48 }{ 30 } \Leftrightarrow -\frac { 24 }{ 15 } \\ \\ \\ -5a-5(-\frac { 24 }{ 15 } )=11\\ -5a+10=11\\ 10-11=5a\\ -1=5a\\ -\frac { 1 }{ 5 } =a\\ \\ -\frac { 1 }{ 5 } -\frac { 24 }{ 15 } +c=0\\ \\ c=\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 24 }{ 15 } \\ \\ c=\frac { 3+24 }{ 15 } \Leftrightarrow \frac { 27 }{ 15 } \\ \\ f(x)=-\frac { 1 }{ 5 } x^{ 2 }-\frac { 24 }{ 15 } x+\frac { 27 }{ 15 }$