Question

Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado de base medindo 6cm e área lateral igual a 5/8 da área total. Qual a área lateral e o volume desta pirâmide?

Answer 1

A área total de uma pirâmide é igual a área da base somada com a área lateral:

At = Ab + AL

Área da base:

A base é um quadrado de lado 6 cm, então a sua ´rea será:

Ab = 6²
Ab = 36 cm²

Área Lateral:

A área lateral será a soma das áreas das 4 faces (pelo fato de a base ser quadrada, teremos 4 faces)

Cada face é um triângulo e a área dele será (base (b) x apótema (a) ) /2
Onde a base desse triângulo tem a mesma medida que a base da pirâmide e o apótema é a distância entre o topo da pirâmide e o ponto médio da base, ou seja, a altura desse triângulo. Assim:

AL = 4 . (b . a)/ 2

AL = 2ba

Como a base da pirâmide mede 6 cm, 

AL = 2 . 6 . a
AL = 12a

Assim, a área total será:

At = Ab + Al
At = 36 + 12a

Como a área lateral é igual a 5/8 da área total, temos:

AL = 5/8 . At
12a = 5/8 . (36+12a)
8 . 12a = 5.(36 + 12a)
96a = 180 + 60a
96a - 60a = 180
36a = 180
a = 180/36
a = 5

Assim, o apótema (altura do triângulo que forma cada face) será igual a 5 cm. 

Dessa forma a área lateral será:

AL = 12a
AL = 12 . 5
AL = 60 cm²

Volume

O volume será igual a 1/3 da área da base vezes a altura, mas não temos a altura. Vamos calcular:

A altura da pirâmide será a distância do topo até o centro da base quadrada. Se analisarmos, teremos um triângulo retângulo formado por 3 lados: a altura (h), o apótema (a) e o outro lado será metade do lado da base, ou seja, 3 cm. Assim, h e 3 são os catetos e o apótema será a hipotenusa.

Aplicando Pitágoras:

a² = h² + 3²
5² = h² + 3²
25 = h² + 9
h² = 25 - 9
h² = 16
√h² = √16
h = 4 cm

Agora, podemos encontrar o volume:

V = 1/3 . Ab . h
V = 1/3 . 36 . 4
V = 12 . 4
V = 48 cm³