Question

para desviar de uma ilha certo navio mudou sua rota deslocando se 12.2 km para o leste e apos um giro de 105 graus seguiu na direção noroeste ate um porto quantos km o navio percorreu nesse desvio utilize √2=1.4 √3=.7

Answer 1

Como esse desenho é um triângulo retângulo, pode-se utilizar as definições básicas de seno, cosseno ou tangente, para encontrar as medidas dos lados desse triângulo.

Nesse problema, o enunciado pede o valor do desvio total que o navio percorreu, ou seja, os 12,2 km ,a leste, e a distância tracejada, a noroeste.

Como a distância que ele percorreu a noroeste é a hipotenusa do triângulo formado, podemos descobrir seu comprimento com base no cosseno do ângulo de 75°. (É preferível utilizar o cosseno, pois já temos o valor do cateto adjacente, que é 12,2 km)

Obs: O ângulo de 75° é obtido ao calcular o suplemento de 105°, como você já havia feito na figura.

Como o exercício não forneceu o cosseno de 75°, podemos calculá-lo com base nos cossenos e senos dos ângulos de 30° e 45°.
Aqui entra um detalhe importante: o ângulo de 75° pode ser decomposto como a soma de 30°+45°. Com isso, podemos utilizar uma das regras que envolvem as Transformações Trigonométricas: a regra do cosseno da soma de dois arcos.

cos (a+b) = cos a .cos b - sen a .sen b

Como já é requisito básico, você deve saber que:
sen 30° = 1/2 
cos 30°= √3/2 
sen 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
 
Basta substituir esses valores na fórmula dada e, posteriormente, substituir as raízes pelos valores que o exercício pediu que você considerasse.

Achando o valor do cosseno de 75°, conforme os dados do problema, basta calcular o comprimento do trajeto a noroeste. Por fim basta somar o resultado encontrado com 12,2 km.

Observação Importante: Como o próprio exercício traz aproximações a serem consideradas, o resultado final claramente ficará um tanto distorcido do que ele realmente seria. Porém, esse tipo de "erro" já está previsto pelo exercício, portanto não há problemas.

Além disso, no final das minhas contas, algumas divisões não deram valores exatos, e eu arredondei-as também, o que acaba por distorcer o resultado real ainda mais. Nesse caso, você pode fazer diferente de mim e utilizar as aproximações com quantas casas decimais você preferir, pois quanto mais preciso esses valores, mais próximo do resultado que o exercício exige a sua resposta estará.

Resposta final: Desvio de aproximadamente 62 km. (Seguindo minhas aproximações)

Abaixo tem o anexo da imagem das minhas contas.