Question

Passei três dias sem postar questões de olimpíadas aqui, então tirarei o atraso hoje! Questão nível fácil, da segunda fase da OBM, nível 3, de 2005 (provavelmente :P) (modificada)A função $f: \ \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfaz f(x + f(y)) = x + f(f(y)) para todos os números reais $x$ e $y$. Sabendo que $f(2)=12$, calcule f(2014).

Answer 1

Temos que f(x + f(y)) = x + f(f(y))  ∀ x,y ∈ R.Sabemos que f(2)=12 e queremos encontrar f(2014).
Assim sendo,podemos inferir que:

 I.f(x+f(y)) = f(2) ⇔ x+f(y)=2 ⇒ f(y) = 2-x
II.x+f(f(y))=12 ⇒ x+f(2-x) = 12 ⇒ f(2-x) = 12-x

Como desejamos descobrir f(2014),então:

f(2-x) = f(2014) ⇔ 2-x=2014 ⇔ x=-2012

Portanto:

f(2-x) = 12-x ⇒ f(2014)=12-(-2012)=2024