Question

como faço pra resolver g(g(x))=1 definidas por f(x)=x-1 e g(x)=x2-3

Answer 1

Trata-se de uma função composta. g(x) é dada por

$g(x)=x^2-3$

Para obter a coposta g(g(x)), você deve substituir x pelo próprio g(x). Ou seja,

$g(g(x))=(x^2-3)^2-3=x^4-6x^2+9-3=x^4-6x^2+6$

A equação que queremos resolver é g(g(x)) = 1, isto é,

$x^4-6x^2+6=1 \\ x^4-6x^2+5=0$

Trata-se de uma equação biquadrada, que pode ser facilmente resolvida se substituirmos x² = y. Portanto,

$x^4 -6x^2 + 5 = 0 \rightarrow y^2 -6y+5=0 \\ \\ y=\frac{6 \pm \sqrt{36-4(5)}}{2}\rightarrow y =\frac{6 \pm 4}{2} = 5 \ \text{ou} \ 1$

Agora, substituímos y = x² para obter

$x^2=5 \ \text{ou} \ x^2=1 \\ \\ x= \pm \sqrt{5} \ \text{ou} \ x= \pm 1$

O conjunto solução da equação, portanto, é

S = {-sqrt(5), +sqrt(5), -1, +1}