Question

a circunferencia de equação x²+y²+ 4x- 11y-12=0 corta os eixos coordenados em quatro pontos .
a) determine as coordenadas em quatro pontos
b ) calcule a área do quadrilátero formado por esses quatro pontos

Answer 1

Para saber em quais pontos cruza o eixo y faz x = 0:

$0^2 + y^2 + 4 \cdot 0 - 11\cdot y - 12 = 0 \\ y^2 - 11y - 12 = 0$

Agora caiu numa equação do 2° grau, usando Bhaskara você achará: y=-1 e y=12.

$y = \frac{11 \pm \sqrt[2]{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt[2]{121 + 48}}{2} \\ y = \frac{11 \pm \sqrt[2]{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2} \\ y^{'} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12 \\ y^{''} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Para saber em quais pontos cruza o eixo x faz y = 0:

$x^2 + 0^2 + 4 \cdot x - 11 \cdot 0 - 12 = 0 \\ x^2 + 4 \cdot x - 12 = 0$

Faz Bhaskara de novo e achará: x = -6 e x = 2.

$x = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{(4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \\ x^{'} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x^{''} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

b)Os pontos são: (0,-1),(0,12),(-6,0) e (2,0)

Precisamos achar a área desse quadrilátero. Podemos calcular as duas diagonais do quadrilátero fazendo a distância entre (0,-1) e (0,12) e a distância entre (-6,0) e (2,0).

$D = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2} = 8$
$d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (12 - (-1))^2} = \sqrt{(13)^2} = 13$

Esse quadrilátero é um losango.
Para saber a área, multiplicamos as diagonais e dividimos por dois:

$A = \frac{D \cdot d}{2} = \frac{8 \cdot 13}{2} = 52$