Question

Arthur, Bernardo e Carlos se posicionam em forma de um triângulo ABC, respectivamente. Arthur lançará uma bola de futebol americano pela bissetriz interna do angulo A, intersectando o lado oposto no ponto D, para onde os outros dois jogadores irão correr a fim de pegá-la. Sabendo-se que AB=6m, AC=10m e BC=8m, determine a distancia percorrida por Carlos.

Answer 1

Se você perceber esse triângulo é retângulo. Como eu sei? Os lados satisfazem o teorema de Pitágoras:

$(\overline{AC})^2 = (\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^2 \\ 10^2 = 6^2 + 8^2 \\100 = 36 + 64 = 100$

Ou seja, o segmento AC é a hipotenusa e os outros segmentos são os catetos.

Ele diz que o Arthur lançará a bola pela bissetriz do ângulo Â, ou seja, em uma direção que divide o ângulo  em dois ângulos iguais.
Agora precisaremos utilizar o Teorema da Bissetriz Interna, ele diz que uma bissetriz dividirá o lado oposto a esse ângulo de forma proporcional aos lados adjascentes do triângulo original.

Fiz uma figura para entender melhor.

Esse segmento $(\overline{AD})$ formado vai dividir o ângulo  em partes iguais. O lado BC = 8m será dividido em partes proporcionais à AB e AC da seguinte forma:

$\frac{(\overline{AB})}{(\overline{BD})} = \frac{(\overline{AC})}{(\overline{CD})}$

Ou seja:

$\frac{6}{(\overline{BD})} = \frac{10}{(\overline{CD})}$

Mas nós sabemos que a soma dos segmentos BD e DC é igual à BC ou seja:

$(\overline{BD}) + (\overline{CD}) = 8 \\ (\overline{BD}) = 8 - (\overline{CD})$

Desta forma:

$\frac{6}{(8 - (\overline{CD}))} = \frac{10}{(\overline{CD})}\\ \frac{6}{10} = \frac{(8 - (\overline{CD}))}{(\overline{CD})}\\ \frac{8}{(\overline{CD})} -1 = 0,6\\ \frac{8}{(\overline{CD})} = 1,6$

Então:

$(\overline{CD}) \cdot 1,6 = 8 \\ (\overline{CD}) = \frac{8}{1,6} = 5m$

Ou seja, Carlos, percorreu 5m para chegar até a bola no ponto D.