Question

qual a equação da circunferência que passa por a(2,1) b(5,-2) e tem raio 15?

Answer 1

A equação geral da circunferência é dada por:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio.

Sabendo que o raio vale 15, podemos substituir x e y na equação geral da circunferência pelas coordenadas dos dois pontos dados. Isso vai nos gerar duas equações. Com duas incógnitas, esse sistema é possível e determinado.

Equação 1: x = 2, y = 1

$(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 15^2 \\ a^2 - 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 = 225$

Equação 2: x = 5, y = -2:

$(5 - a)^2 + (-2 - b)^2 = 15^2 \\ a^2 - 10a + 25 + b^2 + 4b + 4 = 225$

Se você perceber, as duas equações são iguais a 225, logo, podemos igualá-las:

$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 2b + 1= a^2 - 10a + 25 + b^2 + 4b + 4 \\ a^2 - a^2 - 4a + 10a = b^2 - b^2 + 4b + 2b + 25 + 4 - 4 - 1 \\ 6a= 6b + 24$

Isolando b:

$6a - 24 = 6b \\ b = \frac{6a - 24}{6} =a - 4$

Agora substituindo b por a - 4 na primeira equação:

$(2 - a)^2 + (1 - (a-4))^2 = 15^2 \\ a^2 -4a + 4 + (1 -a + 4)^2 = 225 \\ a^2 - 4a + 4 +(-a + 5)^2 = 225 \\ a^2 -4a + 4 + a^2 -10a + 25 = 225 \\ 2a^2 -14a - 196 = 0 \\ a^2 - 7a - 98 = 0$
 
Utilizando Bhaskara:

$a = \frac{7 \pm \sqrt[2]{49 + 4 \cdot 98}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt[2]{441}}{2} \\ a^{'} = \frac{7 + 21}{2} = 14 \\ a^{''} = \frac{7 - 21}{2} = -7$

E o valor de b:

$b^{'} = a - 4 \\ b = 14 - 4 = 10 \\ b^{''} = -7 -4 = -11$

Ou seja, existem duas possibilidades distintas para o centro da circunferência.

A primeira teria equação::


$(x - 14)^2 + (y - 10)^2 = 15^2$

A segunda:

$(x + 7)^2 + (y + 11)^2 = 15^2$

Como você pode observar na figura em anexo, ambas satisfazem o enunciado.