Question

Determine o vetor ‘w’ na expressão 1/2 w – u + v = 1/3 u + 3v – w, sabendo que os vetores u = ( -2,4, 1/4 ) e v = ( 1,2,3).

Answer 1

Seja w = (x, y, z) o vetor buscado. Substituindo na equação dada, temos

$\frac{1}{2}\bold{w} -\bold{u}+ \bold{v} = \frac{1}{3} \bold{u}+3 \bold{v} - \bold{w} \\ \\ \frac{1}{2} (x,y,z)-(-2, 4, \frac{1}{4})+(1,2,3)=\frac{1}{3} (-2,4, \frac{1}{4})+3(1,2,3)-(x,y,z) \\ \\(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2})+(2+1,-4+2,-\frac{1}{4}+3)=(- \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{12})+(3,6,9)-(x,y,z) \\ \\ (\frac{x}{2}+3, \frac{y}{2}-2, \frac{z}{2}+\frac{11}{4})=(- \frac{2}{3}+3-x,\frac{4}{3}+6-y,\frac{1}{12}+9-z)$

$(\frac{x}{2}+3, \frac{y}{2}-2, \frac{z}{2}+\frac{11}{4})=(\frac{7}{3}-x,\frac{22}{3}-y,\frac{109}{12}-z)$

Igualando os componentes de cada lado, temos

$\\ \frac{x}{2}+3=\frac{7}{3}-x \rightarrow \\ \frac{3x}{2} =-\frac{2}{3}\rightarrow x = -\frac{4}{9}$

$\\ \frac{y}{2}-2 = \frac{22}{3}-y \rightarrow \frac{3y}{2}=\frac{28}{3}\rightarrow y=\frac{56}{9} \\ \\ \frac{z}{2}+\frac{11}{4} = \frac{109}{12}-z \rightarrow \frac{3z}{2} = \frac{19}{3}\rightarrow z= \frac{38}{9}$

Logo, $\bold{w} = (x,y,z)=(-\frac{4}{9}, \frac{56}{9}, \frac{38}{9})$

Como fizemos uma cacetada de continhas, há bastante espaço para erro. Portanto, convém substituir os valores que encontramos na equação original e verificar se a igualdade é de fato verdadeira.

$\frac{1}{2} (-\frac{4}{9},\frac{56}{9},\frac{38}{9})-(-2, 4, \frac{1}{4})+(1,2,3) \\ =\frac{1}{3} (-2,4, \frac{1}{4})+3(1,2,3)-(-\frac{4}{9},\frac{56}{9},\frac{38}{9})$

Programei esses vetores no Mathematica e coloquei a equação que nos foi dada. O programa respondeu 'True', o que significa que a igualdade é verdadeira, e o valor de w está correto (ainda bem, senão íamos ter que repetir a p*** toda, heheh).