Question

Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir.

Propriedades:

1. ( u + v) + w = u + ( v + w)
2. u + v = v + u
3. Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
4. Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0.
5. a( u + v) = au + av
6. (a + b)v = av + bv
7. (ab)v = a(bv)
8. 1u = u

Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade.

A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR^3 = {(x, y, 0)/ x, y e z Є IR} vetorial ou não vetorial..

Observação:

Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.

Answer 1

Bom dia João

seja o espaço V  = {(x, y, 0)/ x, y e z Є IR} 

u = (u1, u2, 0)
v = (v1, v2, 0)
w = (w1, w2, 0)

1. ( u + v) + w = u + ( v + w)

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, 0)

(u + v) + w = (u1 + v1, u2 + v2, 0) + (w1, w2, 0) = 

(u1 + v1+ w1, u2 + v2 + w2 ,  0) 

u + ( v + w) = (u1 + v1+ w1, u2 + v2 + w2 , 0) 


2. u + v = v + u

(u1 + u2 + 0) + (v1 + v2 + 0) = (u1 + v1, u2 + v2, 0)
(v1 + v2 + 0)  + (u1 + u2 + 0)  = (v1 + u1, v2 + u2, 0)

3.  (u1, u2, 0) + (0. 0, 0) = (u1, u2, 0)

4. (u1, u2, 0) - (u1, u2, 0) = (0,0,0)

5. a( u + v) = au + av 

a*((u1, u2, 0) + (v1, v2, 0)) = a*(u1, u2, 0) + a*(v1, v2, 0)

6.(a + b)v = av + bv

(a + b)*(v1, v2, 0) = a*(v1, v2, 0) + b*(v1, v2, 0)

7) (ab)v = a(bv)

(ab)*(v1,v2,0) = a*(bv1 + bv2 + b0) 

8) 1u = u 

1*(u1 + u2 + 0) = u1 + u2 + 0

Answer 2

Vamos lá !

Respeitando a formação V = (x,y,0)

u = (x1,y1,0) , v = (x2,y2,0)  , w = (x3,y3,0)

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Aplicando as propriedades ...

1_( u + v) + w = u + ( v + w)

[(x1,y1,0)+(x2,y2,0)]+(x3,y3,0) = (x1,y1,0)+[(x2,y2,0)+(x3,y3,0)

[(x1+x2,y1+y2,0)]+(x3,y3,0)] = (x1,y1,0)+[(x2+x3,y2+y3,0)]

(x1+x2+x3,y1+y2+y3,0) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3,0)

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2_u + v = v + u

(x1,y1,0)+(x2,y2,0) = (x2,y2,0)+(x1,y1,0)

(x1+x2,y1+y2,0) = (x1+x2,y1+y2,0)

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3_Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

vetor nulo = (0,0,0)

(x1,y1,0) + (0,0,0) = (x1,y1,0)

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4_Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.

vetor -u = -(x1,y1,0) = (-x1,-y1,0)

u + (-u)

(x1,y1,0) + (-x1,-y1,0) 

(x1-x1,y1-y1,0+0) = (0,0,0)

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5_a( u + v) = au + av

a.[(x1,y1,0)+(x2,y2,0)]

(ax1,ay1,0) + (ax2,ay2,0)

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6_(a + b)v = av + bv

(a+b).(x2,y2,0)

(ax2,ay2,0) + (bx2,by2,0)

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7_(ab)v = a(bv)

(ab).(x2,y2,0) 

a.b(x2,y2,0)

a.(bx2,by2,0)

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8_1u = u

1.(x1,y1,0) = (x1,y1,0) 


Espero que lhe ajude!                                       ok