Question

Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R(x) = 2x² + 20x - 30 e o custo de produção dada pela função C(x) = 3x² - 12x +30, em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, determine:

a) a função L(x), que determina o lucro L(x) em função da variável x.

b) o número de componentes que devem ser fabricados e vendidos para que o lucro seja máximo

c) o lucro máximo obtido

Answer 1

a)
$L(x)=R(x)-C(x)\\ \\ L(x)=2x^2+20x-30-(3x^2-12x+30)\\ \\ \boxed{L(x)=-x^2+32x}$

b)
Basta derivar a função L(x) e igualar a zero:

$L(x)=-x^2+32x\\ \\ L'(x)=-2x+32\\ \\ -2x+32=0\\ \\ \boxed{x=16}$

c)
$L(16)=-16^2+32*16=-256+512=256,00$

Answer 2

$R(x)=2x^2+20x-30$

$C(x)=3x^2-12x+30$

a) $L(x)=R(x)-C(x)=2x^2+20x-30-3x^2+12x-30=-x^2+32x-60$

$L(x)=-x^2+32x-60$

b) $X_v=\dfrac{-b}{2a}$

$X_v=\dfrac{-32}{2\cdot(-1)}$

$X_v=\dfrac{32}{2}$

$X_v=16$

c) $Y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\Delta=32^2-4\cdot(-1)\cdot(-60)=1024-240=784$

$Y_v=\dfrac{-784}{4(-1)}$

$Y_v=\dfrac{-784}{-4}$

$Y_v=196$