Question

Teoria dos números.

Mostre que se p é primo, p diferente de 2 e p diferente de 5, então existe um natural n tal que

p divide $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ 9 · 10^k.

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Em outras palavras, queremos mostrar que para todo p primo diferente de 2 e diferente de 5, existe um natural formado apenas pelo algarismo 9, que é divisível por p.

Answer 1

Olá Lukyo.


Teorema usado.

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{a^p\equiv a~(mod~p)}}}\\\\\\\star\boxed{\boxed{\mathsf{a'\cdot a\equiv1~(mod~z)~~~se,~mdc(a,z)=1}}}$


Pelo teorema de Fermat, sabemos que um número qualquer a, estiver elevado a um primo p, esse a será congruente ao próprio a.

Pelo enunciado queremos encontrar mostrar que um número formado de n algarismos 9 será divisível por um primo. Podemos representar esse número da seguinte forma.

$\mathsf{10^n-1}$

Uma potência de 10 terá n quantidade de 0 e mais um algarismo contando com o 1. Se nós tirarmos uma unidade desse número, ele passará a ter 1 algarismo a menos seguidos de 9.

Vamos usar congruência e procurar introduzir esse número para provar que o que pede o enunciado é possível.

Aplicando o teorema de Fermat.

$\mathsf{10^p\equiv10~(mod~p)}$

Como sabemos que esse primo é diferente de 5 e de 2, temos que. 
mdc(p, 5) = 1 e mdc(p, 2) = 1

Se p é primo, o mdc de p com outro primo será 1. Isso significa que 10 tem classe inversa mod p. Portanto existe um p', tal que ao ser multiplicado por esse 10, ele será "simplificado" e passará a ser 1. 

Em outras palavras, temos.

$\mathsf{10=10~~\cdot\Big(\dfrac{1}{10}\Big)}\\\\\mathsf{1=1}$

Um inverso multiplicativo de 10.

Voltando de onde paramos.


$\mathsf{10^p\equiv10~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^p\equiv10~\cdot p'~(mod~p)}\\\\\mathsf{\diagup\!\!\!\!\!p'\cdot\diagup\!\!\!\!\!10\cdot10^{p-1}\equiv\diagup\!\!\!\!\!10\cdot \diagup\!\!\!\!\!p'~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^{p-1}\equiv1~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^{p-1}-1\equiv 0~(mod~p)}\\\\\mathsf{\underbrace{999...9}\equiv0~(mod~p)}\\\mathsf{~~_{p-1~vezes}}$

Concluímos o que queríamos demostrar.

Se p é primo diferente de 2 e de 5, existirá um número formado por somente algarismos 9, tal que esse número seja divisível por p. 


Dúvidas? comente.