Question

(Unicamp–SP) Uma hidrelétrica gera 5,0 * 10^9 W de potência elétrica utilizando-se de uma queda-d'água de 100 m. Suponha que o gerador aproveita 100% da energia da queda-d'água e que a represa coleta 20% de toda a chuva que cai em uma região de 400000 km^2. Considere que 1 ano tem 32 * 10^6 segundos; g = 10 m/s^2 e a densidade da água = 10^3 kg/m^3.

a) Qual a vazão da água (m^3/s) necessária para fornecer 5,0 * 10^9 W?

b) Quantos mm de chuva devem cair por ano nessa região para manter a hidrelétrica operando nos 5,0 * 10^9 W?

Answer 1

a) Usaremos as fórmulas :

Pot = E / t
(Pot → Potência; E → Energia; t → Tempo...)

Epg = m * g * ΔH 
(Epg → Energia potencial gravitacional; m → Massa; g → Ac. gravidade; ΔH → Variação de altura);

Z = V / t
(Z → Vazão; V → Volume; t → Tempo...)

m = ρ * V 
(m → Massa;  ρ → Densidade; V → Volume)...

A potência referida é a hidráulica, vinda da Epg da queda d'água.

Pot = Epg / t

Pot = (m * g * ΔH) / t

Mas massa (m) = densidade (ρ) * volume (V) :

Pot = (ρ * V * g * ΔH) / t ⇒ Vou "arrumar" :

Pot = ρ * g * ΔH * (V / t) 

Mas (V / t) = Vazão (Z) :

Pot = ρ * g * ΔH * Z ⇒ Utilizaremos esta fórmula !

Dados ⇒
Pot = 5 * 10^9 W  → Como o rendimento é de 100%, tudo coletado é fornecido !
ρ = 10³ Kg/m³;
ΔH = 100 m → 10² m;
g = 10 m/s²...

5 * 10^9 = 10³ * 10² * 10 * Z ⇒ Somando expoentes :

5 * 10^9 = 10^(3 + 2 + 1) * Z

5 * 10^9 = 10^6 * Z

5 * 10^9 / 10^6 = Z ⇒ Subtraindo expoentes :

5 * 10^(9 - 6) = Z

Z = 5 * 10^3 m³/s ⇒ Vazão necessária !

b) Como a água coletada pela hidrelétrica corresponde a 20% (0,2) da água (pelas chuvas) disponível totalmente na região de 400000 Km², podemos abstrair, considerando que possa ser que a vazão Z coletada corresponde a 20% da vazão coletada na área.

Se Z (hidrelétrica) = 5 * 10^3 m³/s é 20% da vazão total (Zt), então :

Zt = 5 * 10^3 / 0,2
Zt = 25 * 10^3 m³/s ⇒ Vazão total disponível na região !

Como Z = V / t, em um ano (t = 32 * 10^6 segundos), teremos que : 

25 * 10^3 = V / 32 * 10^6
V = 25 * 10^3 * 32 * 10^6
V = 800 * 10^9 m³ ⇒ Volume total de água que cai na região em 1 ano !

Como m³ = m² * m, então, adaptando às variáveis do problema, temos :

V = A * x
(V → Volume de água, A → Área da região e x →  Quantidade em "metros de chuva")

Sendo, no total, para 1 ano ⇒
V = 800 * 10^9 m³ 
A = 400000 Km² → 400000 * 10^6 m² → 400 * 10^(3 + 6) = 400 * 10^9 m²...

800 * 10^9 = 400 * 10^9 * x → Corta o 10^9 :

800 = 400 * x

x = 800 / 400

x = 2 metros → 2000 mm (2 * 10^3) de chuva ⇒ Quantidade de chuva necessária !