Question

determine a soluçao geral da edo 6y"+y'-y=cos(x)

Answer 1

Separando a resolução da EDO em homegenea e não homogenea temos a solução geral:

$Y=A.e^{\frac{1}{3}x}+B.e^{\frac{1}{2}x}-\frac{7}{50}cos(x)+\frac{1}{50}sen(x)$

Explicação passo-a-passo:

A solução geral paara uma EDO não homogenea é dada pela soma da solução homogenea, somada da solução particular, então vamos econtrar as duas separadamentes e depois soma-las:

Solução Homogenea:

Para a EDO homogenea temos a equação:

$6y''+y'-y=0$

Então vamos supor uma solução do tipo:

$y=e^{rx}$

Então nossa equação fica:

$6r^2.e^{rx}+r.e^{rx}-e^{rx}=0$

Colocando a exponencial em evidência e passando ela para a direita dividindo o zero ficamos com:

$6r^2+r-1=0$

Resolvendo esta equação do segundo grau teremos duas soluções:

$r1=\frac{1}{3}$

$r2=\frac{1}{2}$

Então nossa solução é:

$y1=e^{\frac{1}{3}x}$

$y2=e^{\frac{1}{2}x}$

Fazendo a combinação destas duas teremos a solução homogenea completa:

$Yh=A.e^{\frac{1}{3}x}+B.e^{\frac{1}{2}x}$

Solução particular:

Para a EDO particular temos a equação:

$6y''+y'-y=cos(x)$

Então neste caso vamos supor uma solução do tipo:

$y=C.cos(x)+D.sen(x)$

E suas derivadas são então:

$y'=-C.sen(x)+D.cos(x)$

$y''=-C.cos(x)-D.sen(x)$

Substituindo estas funções na EDO:

$6y''+y'-y=cos(x)$

$6(-C.cos(x)-D.sen(x))+(-C.sen(x)+D.cos(x))-(C.cos(x)+D.sen(x))=cos(x)$

Efetuando as contas para simplificação:

$-6C.cos(x)-6D.sen(x)-C.sen(x)+D.cos(x)-C.cos(x)-D.sen(x)=cos(x)$

$(-7C+D).cos(x)+(-7D-C).sen(x)=cos(x)$

Então comparando os dois lados desta equação temos que:

$-7C+D=1$

$-7D-C=0$

Resolvendo este sistemas temos que:

$D=\frac{1}{50}$

$C=-\frac{7}{50}$

Então nossa solução particular fica:

$Yp=-\frac{7}{50}cos(x)+\frac{1}{50}sen(x)$

Assim somando a solução homogenea com a particular teremos a solução geral:

$Y=A.e^{\frac{1}{3}x}+B.e^{\frac{1}{2}x}-\frac{7}{50}cos(x)+\frac{1}{50}sen(x)$

Answer 2

Resposta:

resposta certa na imagem

Explicação passo-a-passo: