Question

Nao consigo fazer! Escreva uma uma equação diferencial que descreva essa frase: A taxa com a qual a concentração de um remédio no sangue diminui é proporcional à sua concentração.

Answer 1

Seja
$\displaystyle \bullet~\Xi= \text{ concentracao do remedio no sangue}\\\\\bullet~\frac{d\Xi}{dt}=\text{taxa de variacao da concentracao no tempo}$
o problema nos informa que
$\displaystyle \frac{d\Xi}{dt}\propto \Xi$
(taxa de variação da concentração no sangue é proporcional à concentração)
então multiplicamos Ξ por uma constante arbitrária μ de proporcionalidade:
$\displaystyle \frac{d\Xi}{dt}=\mu\Xi$
acabamos de montar uma equação diferencial que nos diz a taxa de variação da concentração dessa medicação no sangue por unidade de tempo.
desenvolvendo-a:
$\displaystyle i)~~~~~\frac{d\Xi}{dt}=\mu\Xi\\\\ii)~~~~\frac{d\Xi}{\Xi}=\mu dt\\\\iii)~~~\int \frac{d\Xi}{\Xi}=\int \mu dt\\\\iv)~~~~\ln\left|\Xi\right|=\mu t+\kappa\\\\v)~~~~~e^{\ln|\Xi|}=e^{\mu t+\kappa}\\\\vi)~~~~\Xi=e^{\mu t}e^{\kappa}~~~~~~~~~~~~~e^{\kappa}=cte=\gamma\\\\vii)~~~\boxed{\Xi(t)=\gamma e^{\mu t}}$
descobrimos que a concentração no sangue cresce e decresce exponencialmente.