Question

Determine quantos são os anagramas da palavra:

A)MISSISSIPPI
B)ARARAQUARA
C)ABÓBORA
D)BISCOITO
E)ARARAQUARA que começam e terminam com a

Answer 1

Oi Ariana.

Vamos lá.

Na letra temos uma permutação dessas 10 palavras com 4 repetições do I, 4 do S e 2 do P.
Então:

$P_{ 11 }^{ 4,4,2 }=\frac { 11! }{ 4!4!2! } \Leftrightarrow \frac { 11*10*9*8*7*6*5*4! }{ 4!4*3*2*2 } \Leftrightarrow \frac { 1.663,200 }{ 48 } \Leftrightarrow 34,650$

Na letra B basta fazer a mesma coisa, conta-se as letras e conta quantas vezes as letras se repetem.

$P_{ 10 }^{ 5,3 }=\frac { 10! }{ 5!3! } \Leftrightarrow \frac { 10*9*8*7*6*5! }{ 5!3*2 } \Leftrightarrow \frac { 30,240 }{ 6 } \Leftrightarrow 5,040$

Na letra C basta seguir a mesma linha de raciocínio.

$P_{ 7 }^{ 2,2,2 }=\frac { 7! }{ 2!2!2! } \Leftrightarrow \frac { 7*6*5*4*3*2! }{ 2!*4 } \Leftrightarrow \frac { 2520 }{ 4 } \Leftrightarrow 630$

Assim como na letra D.

$P_{ 8 }^{ 2,2 }=\frac { 8! }{ 2!2! } \Leftrightarrow \frac { 8*7*6*5*4*3*2! }{ 2!2 } \Leftrightarrow \frac { 20,160 }{ 2 } \Leftrightarrow 10,080$

Já na letra E temos que tomar cuidado, ele quer que saber quantos anagramas tem a palavra que começa e termina por A. Então basta excluir dois A dessa palavra e calcular.
Perceba, que mesmo assim teremos repetições na letra A, pois há cinco dessa vogal.

$P_{ 8 }^{ 3,3 }=\frac { 8! }{ 3!3! } \Leftrightarrow \frac { 8*7*6*5*4*3! }{ 6 } \Leftrightarrow \frac { 6720 }{ 6 } \Leftrightarrow 1120$

Answer 2

Para resolver esse exercício, utilizaremos a fórmula da Permutação com Repetição, que consiste no quociente entre o fatorial do número de letras a serem permutadas e o produto dos fatoriais do número de vezes que cada letra se repete.

a) MISSISSIPPI = 11 letras, 4 repetições de I, 4 repetições de S e 2 repetições de P.

$\frac{11!}{4!4!2!} = \frac{39916800}{1152} = \boxed{34650}$ anagramas.

b) ARARAQUARA = 10 letras, 5 repetições de A e 3 repetições de R.

$\frac{10!}{5!3!} = \frac{3628800}{720} = \boxed{5040}$ anagramas.

c) ABÓBORA = 7 letras, 2 repetições de A, 2 repetições de B e 2 repetições de O.

$\frac{7!}{2!2!2!} = \frac{5040}{8} = \boxed{630}$ anagramas.

d) BISCOITO = 8 letras, 2 repetições de I e 2 repetições de O.

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = \boxed{10080}$ anagramas.

e) ARARAQUARA (excluindo a primeira e a última letra): 8 letras, 3 repetições de A e 3 repetições de R.

$\frac{8!}{3!3!} = \frac{40320}{36} = \boxed{1120}$ anagramas.

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Espero ter ajudado, um abraço! :)