Question

Meu professor de física fez a seguinte operação.

$\frac{1}{\sqrt{5}}= \frac{1*\sqrt{5}}{\sqrt{5}*\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

O exercício pede que se use a aproximação $\sqrt{5}=2.25$

Porém o resultado da primeira fração é diferente da segunda:

$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2.25}=\frac{4}{9} = 0.444...$

$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2.25}{5}=0.45$

1- O professor, ao realizar essa operação cometeu um erro?

2- Em um processo seletivo, como no ITA ou FUVEST, os dois resultados seriam aceitáveis, ou apenas um deles? Qual e por quê?

3- Se desde o início da questão, a questão induz o estudante à uma certa margem de erro devido à aproximação, qual é o limite aceitável dessa diferença de resultados? Visto que determinadas operações, como feita pelo professor, pode aumentar essa diferença.

Answer 1

1) A expressão está perfeitamente correta usando as raízes. Porém, ao aproximar, teremos que:

$\dfrac{1}{\sqrt5}\approx\dfrac{1}{2.25}\\ \\ \dfrac{\sqrt5}{5}\approx \dfrac{2.25}{5}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\approx\dfrac{1}{2.25}$

Note que estamos tratando um número irracional como racional. A igualdade só é satisfeita para esse número racional, não por aproximações.

2) Em uma prova mais séria, eles não te pediriam para usar aproximações. Deixe em função do radical. Porém, se eles realmente insistissem nisso, os dois seriam aceitáveis, pois é um erro de aproximação, que foi também cometido por eles.

3) Isso entra em teoria dos erros. Para essa aproximação de duas casas decimais, se dermos uma margem de $\pm0,01$ estaria de bom tamanho e poderíamos continuar os cálculos. Mas guarde o seguinte: do mesmo modo que fazemos em taxas relacionadas e outros tipos exercícios, se precisar de verdade utilizar valores decimais, deixe para substituir o valor ao final da conta.

Qualquer coisa, vamos dialogar nos comentários.