Question

Qual a soma dos 6 primeiros termos da pg ( 1000,500...)

Answer 1

O termo $a_1$ vale 1000.

Podemos calcular a razão:

$a_2 = a_1 \cdot R^{1} \\ 500 = 1000 \cdot R \\ R = \frac{500}{1000} = \frac{1}{2}$

Então o termo geral da P.G. é:

$a_{n} = a_1 \cdot R^{(n-1)} = 1000 \cdot (\frac{1}{2})^{(n-1)}$

A soma dos 6 primeiros termos da P.G. pode ser calculado de 2 formas, a primeira é a mais demorada:

$Soma= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + a_1 \cdot R + a_1 \cdot R^2 + a_1 \cdot R^3 + a_1 \cdot R^4 + a_1 \cdot R^5 \\ Soma = a_1 \cdot (1 + R + R^2 + R^3 + R^4 + R^5) =1000 \cdot (1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5) \\ Soma= 1000 \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}) = 1000 + 500 + 250 + 125 + 62,5 + 31,25 = 1968,75$

A segunda é mais direta:

$Soma_{n} = \frac{a_1 \cdot (R^n - 1)}{R - 1} \\S_{6}= \frac{1000 \cdot ((\frac{1}{2})^6 -1)}{(\frac{1}{2} - 1)} = \frac{1000 \cdot (\frac{1}{64} - 1)}{(\frac{1}{2} - \frac{2}{2})} \\ S_{6} = \frac{1000 \cdot (\frac{1}{64} - \frac{64}{64})}{(-\frac{1}{2})} = \frac{1000 \cdot (- \frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}} = 1000 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{1} \\ S_{6} = \frac{1000 \cdot 126}{64} = 1968,75$