Question

Para fazer o encanamento de uma residencia, deve-se ligar por um cano os pontos A e B distantes 6 m entre si. Como há uma construção no meio desse percurso, resolveu-se ligar A a C e C a B, como mostra a figura ao lado. A quantidade minima de metros de cano necessária para fazer esse encanamento é:

Answer 1

Olá Alves.


Pela enunciado queremos saber a distância de AC e de CB, depois somar essas distâncias para encontrar o tamanho total desse encanamento.

Como sabemos pela figura os ângulos formados por esse triângulo que foi formado por esses 3 pontos, é possível encontrar essa distâncias. É importante notar que o ângulo C é reto, portanto se trata de um triângulo retângulo.

Veja que os demais ângulos são iguais a 45º. Podemos aplicar seno e cosseno para achar os demais lados.

Pelo enunciado a hipotenusa que é sempre o que está oposto ao ângulo reto, mede 6 metros.

Usando seno sobre o ângulo A para encontrar o comprimento BC.

$\mathsf{sen(45\º)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~(i)}\\\\\\\mathsf{sen(45\º)=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}~(ii)}\\\\\\\mathsf{(i)=(ii)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\overline{BC}}{6}}\\\\\\\mathsf{6\sqrt{2}=2\overline{BC}}\\\\\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!6\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\!2}=\overline{BC}}\\\\\\\mathsf{3\sqrt{2}=\overline{BC}}$

Portanto o comprimento BC é de $\mathsf{3\sqrt{2}}$ metros.

Note que o ângulo B é igual ao ângulo A, nesses casos significa que os lados opostos serão congruentes, ou seja, tem a mesma medida. Portanto AB = BC.

Somando os comprimentos, temos.

$\mathsf{\overline{AB}+\overline{BC}=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\overline{AB}+\overline{BC}=6\sqrt{2}}}$

Portanto, a quantidade de metros para fazer esse encanamento é de $\mathsf{6\sqrt{2}}$ metros.


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