Question

MATEMÁTICA : UNICAMP (segunda fase)

Sendo K um número real, considere a função f(x) = K * sen(x) + cos(x), definida para todo x ∈ R.

a) Seja t um número real tal que f(t) = 0. Mostre que f(2*t) = -1.

b) Para K = 3, encontre todas as soluções para a equação (f(x))² + (f(-x))² = 10 para 0 ≤ x ≤ π.

Answer 1

$\ \ \ \ \ \ f(x) \ = \ k \ . \ sen(x) \ + \ cos(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall \ x \in \Re \\ \\ De \ acordo \ com \ a \ quest\tilde{a}o \ temos \ que \ : \\ \\ f(t) \ = \ 0 \\ \\ Assim \ , \\ \\ k \ . \ sen(t) \ + \ cos(t) \ = \ 0 \\ \\ k \ = \ - \frac{cos(t)}{sen(t)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i) \\ \\ a) \\ \\ f(2t) \ = \ k \ . \ sen(2t) \ + \ cos (2t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (ii)$

$Recorrendo \ as \ f\acute{o}rmulas \ de \ transforma\c{c}\tilde{o}es \ trigonom\acute{e}tricas \ , \\ \\ \boxed{\boxed{sen(2 \theta) \ = \ 2 \ . \ sen(\theta) \ . \ cos(\theta)}} \\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{cos(2 \theta) \ = \ -1 \ + \ 2 \ . \ cos^2( \theta )}} \\ \\ \\ Retomando \ a \ (ii) \ ,$

$f(2t) \ = \ k \ . \ [ \ 2 \ . \ sen(2t) . \ cos(2t) \ ] \ + \ [ \ -1 \ + \ 2 \ . \ cos^2(2t ) \ ] \\ f(2t) \ = \ k \ . \ [ \ 2 \ . \ sen(2t) . \ cos(2t) \ ] \ -1 \ + \ 2 \ . \ cos^2(2t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iii) \\ \\ Substituindo \ a \ express\tilde{a}o \ (i) \ em \ (iii) \ ,$

$f(2t) \ = \ - \frac{cos(t)}{sen(t)} \ . \ [ \ 2 \ . \ sen(t) \ . \ cos(t) \ ] \ -1 \ + \ 2 \ . \ cos^2(t) \\ f(2t) \ = \ -2 \ . \ cos^2(t) \ -1 \ + 2 \ . cos^2(t) \\ f(2t) \ = \ -1$

$b) \ \ Sendo \ k \ = \ 3 \ \ \ \ \ e \ \ \ \ \ 0^\circ \leq \ \ x \ \ \leq \ \pi \\ \\ [ \ f(x) \ ]^2 \ + \ [ \ f(-x) \ ]^2 \ = \ 10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iiii)$

$Antes \ de \ come\c{c}armos \ a \ resolver \ a \ express\tilde{a}o \ acima \ vamos \\ colocar \ o \ termo \ -x \ em \ fun\c{c}\tilde{a}o \ de \ x \ . \ Para \ isso \ recorremos \\ \grave{a}s \ f\acute{o}rmulas \ de \ subtra\c{c}\tilde{a}o \ de \ senos \ e \ cossenos \ , \\ \\ \boxed{\boxed{sen( \ a \ - \ b \ ) \ = \ sen(a) \ . \ cos(b) \ - \ sen(b) \ . \ cos(a)}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{cos( \ a - \ b \ ) \ = \ cos(a) \ . \ cos(b) \ + \ sen(a) \ . \ sen(b) }}$

$Lembre-se \ que \ o \ \hat{a}ngulo \ -x \ \acute{e} \ percorrido \ no \ sentido \ hor\acute{a}rio \\ do \ ciclo \ trigonom\acute{e}trico \ . \ Assim \ , \ ele \ pode \ ser \ simbolizado \\ por \ (2 \pi \ - x) \ . \ Com \ isso \ , \\ f(-x) \ = \ k \ . \ sen(-x) \ + \ cos(-x) \\ f(2\pi-x) \ = \ k \ . \ sen(2\pi-x) \ + \ cos(2\pi-x) \\ \\ Irei \ calcular \ sen(2\pi-x) \ e \ cos(2\pi-x) \ separadamente \ e \ depois \\ substituirei \ tudo \ express\tilde{a}o \ logo \ acima.$


$sen(2\pi-x) \ = \ sen(2\pi) \ . \ cos(x) \ - \ sen(x) \ . \ cos(2\pi) \\ sen(2\pi-x) \ = \ (0) \ . \ cos(x) \ - \ sen(x) \ . \ (1) \\ sen(2\pi-x) \ = \ -sen(x) \\ \\ cos(2\pi-x) \ = \ cos(2\pi) \ . \ cos(x) \ + \ sen(2\pi) \ . \ sen(x) \\ cos(2\pi-x) \ = \ (1) \ . \ cos(x) \ + \ (0) \ . \ sen(x) \\ cos(2\pi-x) \ = \ cos(x) \\ \\ Retomando \ , \\ f(2\pi-x) \ = \ k \ . \ [ \ -sen(x) \ ] \ + \ cos(x) \\ f(-x) \ = \ - \ k \ . \ sen(x) \ + \ cos(x)$

$Retomando \ a \ (iiii) \ , \\\\ [ \ f(x) \ ]^2 \ + \ [ \ f(-x) \ ]^2 \ = \ 10$

$[ \ 3 \ . \ sen(x) \ + \ cos(x) \ ]^2 \ + \ [ \ -3 \ . \ sen(x) \ + \ cos(x) \ ]^2 \ = \ 10 \\ \\ 9 \ . \ sen^2(x) \ + \ 6 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ + \ cos^2x \ + \ 9 \ . sen^2(x) \rightarrow \\ \rightarrow \ -6 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ + \ cos^2(x) \ = \ 10 \\\\ 18 \ . \ sen^2(x) \ + \ 2 \ . \ cos^2(x) \ = \ 10 \\ 9 \ . \ sen^2(x) \ + cos^2(x) \ = \ 10 \\ \\ Sabendo \ que \ , \\ \\ \boxed{\boxed{sen^2x \ + \ cos^2(x) \ = \ 1 }}$

$9 \ . \ sen^2(x) \ + \ 1 \ -sen^2(x) \ = \ 5 \\ \\ 8 \ . \ sen^2(x) \ = \ 4 \ \\ \\ sen^2(x) \ = \ \frac{1}{2} \\ \\ sen(x) \ = \ ^+ _- \frac{\sqrt{2}}{2}$

$Sabendo \ que \ x \in \ [ \ 0^\circ \ , \ \pi \ ] \ , \ temos \ que \ x \ \acute{e} \ um \ \hat{a}ngulo \ do \ primeiro \\ ou \ segundo \ quadrante \ . \ Logo \ ,$

$sen(x) \ = \ + \frac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ x' \ = \ \frac{\pi}{4} \ ou \ x'' \ = \ \frac{3\pi}{4}$

$S \ = \ \left \{ \frac{\pi}{4} \ , \ \frac{3\pi}{4} \right \}$