Question

uma esfera de raio R flutua sobre um fluido com apenas 1/8 de seu volume submerso. se esta esfera encolhesse uniformemente, mantendo sua massa inicial,qual seria seu valor minimo de seu raio para que ele não viesse afundar?

Answer 1

Se
$\displaystyle V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$ é o volume da esfera
e sabemos que ela flutua por causa do empuxo:
$E+P=0$
onde E depende do volume e densidade do fluido e P depende da massa da esfera, teremos:
$E=\rho_{_L} Vg\\P=-mg$
tal que o volume submerso (Vs) é:
$\displaystyle V_s=\frac{4}{3\cdot 8}\pi R^3=\frac{1}{6}\pi R^3$
o empuxo é 
$\displaystyle E=\rho_{_L}\frac{1}{6}\pi r^3g$
o peso da esfera é dado por
$\displaystyle P=-mg\\\text{onde }m=\rho_e V~~~~~\rho_e=\text{densidade da esfera}~~~~~V_1=\text{volume da esfera}\\\\P=-\rho_e\frac{4}{3}\pi R^3g$
a soma algébrica do peso com o empuxo tem que ser nula (quando a esfera está em equilíbrio)
se o empuxo for maior que o peso, a esfera vai subir (que nem quando você afunda uma bola na água e ela pula) e se o peso for maior ela vai afundar.
Então segue os cálculos:
$\displaystyle i)~~~~~E+P=0\\\\ii)~~~~\rho_{_L}\frac{1}{6}\pi r^3g-\rho_e\frac{4}{3}\pi R^3g=0\\\\iii)~~\rho_{_L}\frac{1}{6}\pi r^3g=\rho_e\frac{4}{3}\pi R^3g\\\\iv)~~~r^3=\frac{\rho_e}{\rho_{_L}}\frac{12}{3}R^3~~~~~~\frac{\rho_e}{\rho_{_L}}=\xi\\\\v)~~~~r^3=\xi 4R^3\\\\vi)~~\boxed{r=\sqrt[3]{\xi 4R^3}=\sqrt[3]{4\frac{\rho_e}{\rho_{_L}}}R}$
Onde r é raio mínimo, ele é diretamente proporcional à  raiz cúbica da densidade relativa da esfera em relação ao fluido na qual ela está submersa (representado pela letra grega xi ξ) multiplicado por 4 e ao raio da esfera. 

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Bons estudos! :)