Question

SABENDO QUE O PERÍMETRO DO QUADRADO E DEFG E UM TERÇO DO PERIMETRO DO TRIANGULO EQUILÁTERO ABC DETERMINE A MEDIDA DA DIAGONAL DO QUADRADO

Answer 1

O perímetro do triângulo é a soma de seus três lados:

$P_{tri} = \ell + \ell + \ell = 3 \cdot \ell$

Para calcular $\ell$ cortamos o triângulo no meio e aplicamos o teorema de Pitágoras:

$\ell^2 = (\frac{\ell}{2})^2 + (5\sqrt{3})^2 \\ \ell^2 = \frac{\ell^2}{4} + 5^2 \cdot 3 \\ \ell^2 - \frac{\ell^2}{4} = 25 \cdot 3 \\ \frac{3 \ell^2}{4} = 75 \\ \ell^2 = \frac{75 \cdot 4}{3} \\ \ell^2 = 100 \\ \ell = \sqrt[2]{100} \\ \ell = 10$

Então o perímetro do triângulo vale 30, já que cada lado mede 10.

O perímetro do quadrado mede 1/3 disso, ou seja, o perímetro do quadrado é 10:

$P_{quad} = x + x + x + x = 10 \\ 4x = 10 \\ x= \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

Sabendo que o lado do quadrado mede 2,5, a diagonal mede:

$d^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 \\ d^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4}\\ d = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt[2]{\frac{2 \cdot 25}{4}} = \frac{\sqrt[2]{25} \cdot \sqrt[2]{2}}{\sqrt[2]{4}} = \frac{5 \cdot \sqrt[2]{2}}{2}$

$\boxed{d = 2,5 \cdot \sqrt[2]{2} \approx 3,5355}$