Question

A equação do 2° grau cujas raízes são ⁻¹/₂ e ¹/₃ é:

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para escrever a equação do 2º grau, na forma f(x) = ax² + bx + c, sabendo-se que suas raízes são estas: x' = -1/2 e x'' = 1/3.

Antes veja que uma equação do 2º grau, da forma vista acima [f(x) = ax²+bx+c], com raízes x' e x'', poderá ser escrita em função de suas raízes da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'').

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação do 2º grau, cujas raízes são: x' = -1/2; e x'' = 1/3, poderá ser escrita da seguinte forma;

f(x) = a*(x-(-1/2)*(x-1/3) = a*(x+1/2)*(x-1/3) ---- efetuando o produto indicado, teremos:

f(x) = a*(x² - x/3 + x/2 - 1/6) ----- admitindo "a" = 1, teremos:
f(x) = 1*(x² - x/3 + x/2 - 1/6) --- ou apenas
f(x) = x² - x/3 + x/2 - 1/6 ----- mmc entre 2, 3 e 6 = 6. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

f(x) = (6*x² - 2*x + 3*x - 1*1)/6
f(x) = (6x² - 2x + 3x - 1)/6 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
f(x) = (6x² + x - 1)/6  ----- agora vamos deixar esta equação na forma de encontrar suas raízes. Para isso, basta que igualemos f(x) a zero. Logo:

0 = (6x² + x - 1)/6 ----- vamos apenas inverter, ficando:
(6x² + x - 1)/6 = 0 ------ multiplicando-se em cruz, teremos;
6x² + x - 1 = 6*0 --- ou apenas:
6x² + x - 1 = 0 <--- Pronto. Esta é resposta. Ou seja, esta é a equação do 2º grau cujas raízes são x' = -1/2 e x'' = 1/3.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.