Question

Sabendo-se que as soluções da equação x² + bx + c = 0 são r e s, então a soma e o produto das soluções da equação (x +1)² + (x - 1)b + c = 0 em função de r e s valem, respectivamente:

Answer 1

Olá!

 Inicialmente, temos que:

Soma:

$\\ \mathsf{S = - \frac{b}{a}} \\\\ \mathsf{r + s = - \frac{b}{1}} \\\\ \mathsf{r + s = - b}$

Produto:

$\\ \mathsf{P = \frac{c}{a}} \\\\ \mathsf{r \cdot s = \frac{c}{1}} \\\\ \mathsf{rs = c}$


Desenvolvendo a segunda equação:

$\\ \mathsf{(x + 1)^2 + (x - 1) \cdot b + c = 0} \\\\ \mathsf{x^2 + 2x + 1 + bx - b + c = 0} \\\\ \mathsf{x^2 + (b + 2)x + (1 - b + c) = 0}$


Sabemos que a soma desta equação pode ser dada por:

$\\ \mathsf{soma = - \frac{(b + 2)}{1}} \\\\ \mathsf{soma = - b - 2} \\\\ \mathsf{soma = (r + s) - 2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{soma = r + s - 2}}}$


Quanto ao produto:

$\\ \mathsf{produto = \frac{(1 - b + c)}{1}} \\\\ \mathsf{produto = 1 - b + c} \\\\ \mathsf{produto = 1 + (r + s) + rs} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{produto = 1 + r + s + rs}}}$