Question

me ajudem pfvr, ta na foto

Answer 1

Exercício 1

Função horária da velocidade: A aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Um corpo que se move em movimento retilíneo uniformemente variado possui aceleração $\alpha$ dada por 

$\alpha = \frac{\Delta V}{\Delta t}$

A variação da velocidade é dada pela velocidade final $V$ menos a velocidade inicial $V_0$. Portanto, temos

$\alpha = \frac{V-V_0}{\Delta t}$

Desenvolvendo, temos

$\alpha = \frac{V-V_0}{\Delta t} \\ \alpha \Delta t=V-V_0 \\ V = V_0 + \alpha \Delta t$

Sabemos que $\Delta t = t- t_0$, mas, supondo que o tempo inicial $t_0$ é nulo, temos $\Delta t = t - 0 = t$. Sendo assim, obtemos a velocidade V como função do tempo t, 

$V = V_0 + \alpha \Delta t \\ V = V_0 + \alpha (t - t_0 ) \\ V = V_0 + \alpha(t - 0) = V_0 + \alpha t \\ \therefore V(t) = V_0 + \alpha t \ \text{(I)}$

Em seguida, para obtermos a função horária do espaço, partimos da expressão que fornece a distância percorrida $x$ para um corpo em movimento uniforme, 

$x(t) = x_0 + \bar{V}t \ \text{(II)}$

onde $x_0$ é o espaço inicial e $\bar{V}$ é a velocidade média. Essa equação não se aplica ao MRUV porque, em tal modalidade de movimento, a velocidade varia em função do tempo. Sabemos, no entanto, que a velocidade média $\bar{V}$ pode ser dada como a média aritmética da velocidade inicial e da velocidade final, 

$\bar{V} = \frac{V_0 + V}{2}$

Substituindo em x(t) (equação II), então, obtemos 

$x(t) = x_0 + (\frac{V_0 + V}{2})t \ \text{(III)}$

Pela equação (I), sabemos que, em um MRUV, num dado instante de tempo $t$, a velocidade é dada por

$V = V_0 + \alpha t$

Para obter x(t) para o MRUV, então, basta substituir V na expressão de x(t), isto é, na equação (III), e obtemos

$x(t) = x_0 + (\frac{V_0 + V}{2})t = x_0 + (\frac{V_0 + [V_0 + \alpha t]}{2})t \\ x(t)= x_0 + (\frac{2V_0 +\alpha t}{2}) t$

Multiplicando a fração acima por $t$, então, obtemos

$x(t)= x_0 + (\frac{2V_0 +\alpha t}{2}) t = x_0 + \frac{2 V_0}{2}t \times t + \frac{\alpha}{2} t \times t \\ \therefore x(t) = x_0 + V_0 t + \frac{\alpha t^2}{2} \ \ \text{(IV)}$

Pronto! Obtemos a posição $x$ de uma partícula em movimento uniformemente variado como função do tempo $t$. 

Resta derivar a equação de Torriccelli. É só isolar o tempo na função horária da velocidade (equação (I)) e substituir na função horária do espaço, (equação (IV)). Os cálculos estão na figura que eu anexei abaixo.

Exercício 2

Para saber a velocidade e a aceleração do ponto, basta comparar a equação que nos foi dada com a função horária do movimento, equação (IV) do exercício anterior.

$x(t) = 11 + 35t + 41 t^2 \iff x(t) = x_0 + V_0 t + \frac{\alpha}{2} t^2$

Comparando as equações, temos que 

$x_0 = 11 \ \text{cm} \\ V_0 = 35 \ \text{cm/s} \\ \frac{\alpha}{2} = 41 \ \text{cm/s2} \rightarrow \alpha = 81 \ \text{cm/s2}$

Portanto, a aceleração do ponto é 81 cm/s². A velocidade, por sua vez, é dada pela função horária da velocidade (equação (I) do exercício anterior), isto é,

$V(t) = V_0 + \alpha t$

Acabamos de depreender que $V_0 = 35 \ \text{cm/s}$ e $\alpha = 81 \ \text{cm/s2}$, então, substituindo, temos

$V(t) = 35 + 81t$

Essa é a velocidade do ponto, em cm/s, em um dado instante de tempo t.