Question

O gráfico duma função quadrática f tem como vértice Ve passa pelo ponto P.
Escreva a expressão analítica de f se:
V(3,4) e P(5,0)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Crisbfg, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se que uma função do 2º grau, da forma  f(x) = ax² + bx + c,  tem como vértice o ponto V(3; 4) e passa no ponto P(5; 0).
Dadas essas informações, pede-se a expressão analítica de f(x).

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como o vértice do gráfico dessa função é o ponto V(3; 4), então vamos ver como se calcula os pontos do vértice de uma parábola V(xv; yv), cujas fórmulas são estas:

i.a) xv = -b/2a ---- substituindo-se "xv" por "3", pois o vértice é V(3; 4), teremos:
3 = -b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
2a*(3) = - b
6a = - b ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
-6a = b -- ou, invertendo-se:
b = - 6a      . (I)

i.b) yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "4", pois o vértice é V(3; 4), teremos:

4 = -(b² - 4ac)/4a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*4a = -(b² - 4ac)
16a = -(b² - 4ac) --- retirando-se os parênteses, teremos:
16a = - b² + 4ac ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

-16a = b² - 4ac ---- vamos substituir "b" por "-6a", conforme vimos na expressão (I). Então, fazendo essa substituição, teremos;

-16a = (-6a)² - 4ac ---- desenvolvendo, teremos:
-16a = 36a² - 4ac ----- dividindo-se ambos os membros por "a", iremos ficar apenas com:

- 16 = 36a - 4c ----- passando "36a" para o 1º membro, teremos:
-16 - 36a = - 4c ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
36a + 16 = 4c --- dividindo-se ambos os membros por "4", iremos ficar apenas com:

9a + 4 = c ---- ou, invertendo-se:
c = 9a + 4    . (II)

ii) Agora veja que o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c passa no ponto P(5; 0). Então substituiremos "x" por "5" e igualaremos f(x) a zero, pois o ponto é P(5; 0). Assim:

0 = a*5² + b*5 + c
0 = 25a + 5b + c ---- vamos apenas inverter, ficando:
25a + 5b + c = 0      . (III) 

Mas veja: na expressão (III) acima vamos substituir "b" por "-6a", conforme vimos na expressão (I), e vamos substituir "c" por "9a+4", conforme vimos na expressão (II).
Vamos apenas repetir a expressão (III), que é esta:

25a + 5b + c = 0 ---- fazendo as substituições previstas aí em cima, teremos:
25a + 5*(-6a) + 9a+4 = 0
25a - 30a + 9a + 4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
4a + 4 = 0
4a = - 4
a = -4/4
a = - 1 <--- Este é o valor do termo "a" da função f(x) = ax² + bx + c.

Agora vamos encontrar os valores de "b" e "c". Já vimos antes que;

b = - 6a ---- substituindo-se "a" por "-1", teremos:
b = -6*(-1)
b = 6 <--- Este é o valor de "b" da função f(x) = ax² + bx + c

E, finalmente, também como já vimos antes, temos que:

c = 9a+4 ----- substituindo-se "a' por "-1", teremos:
c = 9*(-1) + 4
c = -9 + 4
c = - 5 <--- Este é o valor de "c" da função f(x) = ax² + bx + c.

iii) Finalmente, como já temos que a = -1; b = 6; e c = -5, então a expressão analítica de f(x) = ax² + bx + c será esta:

f(x) = - 1*x² + 6*x + (-5) --- ou apenas:
f(x) = - x² + 6x - 5 <--- Esta é a resposta. Esta é a expressão analítica de "f" pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.