Question

01° Manoela Decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida deve ser diferente do próprio nom, é..? (Com Cálculos)

02° Permuta do os algarismos do número 125 612, quantos números:
A) são obtidos?
B) pares são obtidos?
C) menores de 400 000 são obtidos?
(Com Cálculo)

03° Ao ordenar alfabeticamente todos os algarismos da palavra célula, qual ocupará a 301 Posição? (Com cálculo)

Answer 1

1) M-A-N-O-E-L-A  é uma palavra e o objetivo é descobrir a quantidade de anagramas. 

Para calcular os anagramas:
1° passo- ver se tem letras repetidas na palavra. 
2° passo- se não houver basta achar permutação de n letras (Pn) da palavra que é calculado por Pn=n! 
3° passo- se houver letras repetidas basta achar as permutações (Pn = n!) e dividir pelo fatorial da quantidade de letras repetidas.

M-A-N-O-E-L-A (7 LETRAS , 2 repetidas "A")

P7=7!/2! => 2520 anagramas, contando com MANOELA, então já que o próprio nome não pode, 2519 anagramas. 

2) a) 1-2-5-6-1-2 (125.612) $Pn= \frac{6!}{2! .2!}$ (2 repetições "1" , 2 repetições "2" ) 

6.5.4.3.2.1/4 = 180 numeros possíveis

b) Para ser par o número deve terminar com 2 ou 6, pois 2 e 6 são pares. 

1° Vamos fixar o número 2 no final

XXXXX 2 (esse 2 representa uma possibilidade = 1)    
 - Os números que sobram são (1,2,1,6,5) 
             
Finja que o número ficou com 5 dígitos pois o 2 no final representa vezes 1

XXXXX . 1    (1,2,1,5,6) 
Permutação dos 5 digitos = P5=5! - porém dois números se repetem  o "1" 

5!/2! = 5.4.3= 60 possibilidades 

2° etapa
As possibilidades com numero 6 no final.

XXXXX 6 (fixa o 6 e conta como 1 possibilidade vezes 1)

Sobrou (1,1,2,2,5) 
Pn=n!= 5! (4 numeros se repetem, "1" duas vezes, "2" duas vezes)

5!/2!.2! = 5.4.3.2.1/4 -> 5.3.2 = 30 possibilidades.

60+30 possibilidades = 90 possibilidades que terminam em número par

C) Para o número ser menor que 400.000 ele não pode começar com 6 e nem com 5 então basta achar o valor total de permutações (que já achamos são 180 números) e diminuir pelas permutações que começam com 5 ou 6.

Fixa o 6/5 (2 possibilidades) 

6 XXXXX  (números que sobraram 1,2,2,1,5) 
 1 .  Pn=5! ( porém 4 números se repetem , 2 e 1) 
1 . 5!/2!.2! => 5!/4 = 5.4.3.2.1/4 = 30 possibilidades + 

5 XXXXX (numeros que sobram 1,2,2,1,6) 
1. Pn=5! (4 numeros se repetem 2 e 1) 
1.5!/2!.2! = 5.4.3.2.1/4 = 30 possibilidades= 60 possibilidades de numeros que começam com 6 ou 5

180 possibilidades - 60 possibilidades = 120 possibilidades de numeros menores que 400.000

3) C-E-L-U-L-A  (6 LETRAS, 2 REPETIDAS)
    Primeiro devemos calcular o nº de anagramas possíveis com a palavra CÉLULA: 
6! / 2! ----> 720 / 2 ----> 360 anagramas 

começados com A XXXXX (L,L,U,C,E)----> 5! / 2! ----> 60 anagramas 
começados com C XXXXX (L,L,A,E,U)----> 5! / 2! ----> 60 anagramas 
começados com E XXXXX (L,L,A,U,C)---> 5! / 2! ----> 60 anagramas 
começados com L XXXXX  (L,A,U,E,C)-----> 5! -----> 120 anagramas 

60 + 60 + 60 + 120 = 300 anagramas 
Portanto o anagrama que ocupa a 300º posição é o último começado com a letra L, desta forma chegamos à conclusão de que o 301º anagrama é o primeiro anagrama começado com U, portanto basta organizarmos o anagrama começado por U de forma alfabética: 

UACELL 

Resposta final: O anagrama UACELL