Question

4) Sobre a posição relativa de planos no espaço, é correto afirmar:A)Se os planos α e β são perpendiculares a um plano λ, então α é paralelo a β.B)Se dois planos, α e β, são paralelos entre si, então a interseção de qualquer outro plano λ com estes é um par de retas paralelas.C)Por uma reta r perpendicular a um plano passam apenas dois planos, β e λ, perpendiculares ao plano α.D)Por um ponto P não pertencente a um plano α passam infinitos planos paralelos ao plano α.E)Dois planos, α e β, paralelos a uma mesma reta r são paralelos entre si.

Answer 1

A) Falso. Pense nos planos do nosso sistema de coordenadas cartesianas x, y, x. Os planos xy e yz são perpendiculares ao plano xz, mas xy e yz não são paralelos entre si.

B) Verdade. Podemos demostrar por geometria euclidiana. Suponha α e β planos distintos e que a interseção de α com λ seja uma reta r. r está contida em α e em λ. A interseção de β com λ é a reta s. s está contida em β e λ. r e s estão contidas no plano λ. Suponhamos que r e s se cruzem(por serem do mesmo plano, ou se cruzam ou são paralelas.). Como elas se cruzam, elas tem um ponto em comum, mas como r⊂α e s ⊂ β, temos que o ponto P de interseção pertence a α e β, mas como são planos paralelos distintos, esse ponto não existe e por isso as retas r e s são paralelas.
Se os planos forem coincidentes, as retas r e s terão a mesma direção e, por isso, serão paralelas.

c) Falso. Pelo ponto de interseção da reta e do plano, faça uma reta qualquer. O cilindro resultante passará por r e será um plano. Todos esses planos serão perpendiculares ao primeiro, pois são paralelos à reta s.

d) Falso. Existe o ponto P e o plano paralelo a α que passa por ele existe e é único. Tome a projeção perpendicular P' de P sobre o plano α. O vetor P'P é perpendicular a α. Tomemos um plano qualquer paralelo a α passando por P. Ele deverá ser perpendicular a P'P. Tomando uma reta que passe por P e tenha a direção de P'P, existem infinitos planos paralelos a α que passam por r, um para cada ponto, mas por P só existe um plano, pois se existissem dois, ambos teriam o vetor perpendicular P'P e teriam o mesmo ponto P. Por um ponto e um vetor perpendicular, definimos apenas um plano. Logo, existe apenas um plano que satisfaz as condições.

e) Falso. Tome  uma reta s paralela a r. Defina essa reta pela interseção de dois planos que não passem por r. Esses planos são paralelos à reta r e se cruzam, logo, existem planos que são paralelos à uma mesma reta e não são paralelos.

Answer 2

Resposta:

A) F;

B) V;

C) F;

D) F;

E) F.